Cho ∆ABC có diện tích 120 cm2. Điểm M, N lần lượt thuộc cạnh CA và CB sao cho CM = 2/3 x CA; CN = 1/3 x CB. Hai đường BM cắt AN tại K. Tính SAMNB và tỷ số KB/KM ?

Để tính diện tích của hình SAMNB, ta cần biết độ dài SA, SB, AN và BM. Ta có: - Diện tích tam giác ABC: SABC = 120 cm² - Vì CM = 2/3 x CA nên AM = 1/3 x CA. Tương tự, vì CN = 1/3 x CB nên BN = 2/3 x CB. - Ta có: AK/BK = AC/BC = 2/3 (do AK và BK là các đường cao của hai tam giác đồng dạng ABC và ABK). Từ đó suy ra AK = 2/5 x AB và BK = 3/5 x AB. - Do hai đường BM và AN cắt nhau tại K nên ta có: KB/KM = AB/AM (do hai tam giác ABK và MKB đồng dạng). - Áp dụng định lý Pappus cho hai đường thẳng BM và AN, ta có: KM/MA = BN/NB. Từ đó suy ra KM = 2/5 x AB và MA = 1/5 x AB. Từ các kết quả trên, ta tính được: - AB = AM + MB + BN = 1/3 x CA + BM + 2/3 x CB = 2/3 x (CA + CB) = 2/3 x AB (vì AB là cạnh huyền của tam giác vuông ABC). - Vậy AB = 3/2 x √(120) = 18 cm. - Từ đó, ta tính được: AK = 2/5 x AB = 7.2 cm, BK = 3/5 x AB = 10.8 cm, AM = 1/5 x AB = 3.6 cm, BM = AB - AM - BN = 3.6 cm. - Áp dụng công thức diện tích tam giác, ta tính được diện tích của hình SAMNB: S = SABC - SAKB = 120 - 1/2 x AK x KB = 120 - 1/2 x 7.2 x 10.8 = 58.32 cm². - Tỷ số KB/KM = AB/AM = 18/3.6 = 5.