Cho a, b,c thuộc (0, 1) Chứng minh rằng căn(abc) + căn((1 - a)(1 - b)(1 - c)) bé hơn 1

Để chứng minh rằng căn(abc) + căn((1 - a)(1 - b)(1 - c)) bé hơn 1, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác. Giả sử abc > 0 (nếu abc = 0, bất đẳng thức trở thành căn((1 - a)(1 - b)(1 - c)) < 1, điều này dễ dàng chứng minh). Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho hai căn số học, ta có: căn(abc) + căn((1 - a)(1 - b)(1 - c)) < căn(abc + (1 - a)(1 - b)(1 - c)) Vì a, b, c thuộc (0, 1), nên (1 - a), (1 - b), (1 - c) > 0. Do đó, ta có: abc + (1 - a)(1 - b)(1 - c) < abc + (1 - a + 1 - b + 1 - c)/3)^3 = abc + (3 - (a + b + c))/3)^3 = abc + (3 - (a + b + c))^3/27 = abc + (27 - 9(a + b + c) + (a + b + c)^2 - 3(a + b + c)^3)/27 = (a + b + c)^2 - 3(a + b + c)^3/27 + 27/27 = (a + b + c)^2 - 3(a + b + c)^3/27 + 1 = (a + b + c)^2 - 3(a + b + c)^3/27 + 1 = (a + b + c)^2 - (a + b + c)^3/9 + 1 = [(a + b + c)^2(9 - (a + b + c)) + 9]/9 Vì a, b, c thuộc (0, 1), nên a + b + c < 3. Do đó, (a + b + c)^2(9 - (a + b + c)) < 9. Vậy căn(abc) + căn((1 - a)(1 - b)(1 - c)) < căn(abc + (1 - a)(1 - b)(1 - c)) < căn(9/9) = 1. Vậy ta đã chứng minh được rằng căn(abc) + căn((1 - a)(1 - b)(1 - c)) bé hơn 1.