Tìm một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Biết rằng nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.

Gọi phân số cần tìm là $$, với $$ là tử số và $$ là mẫu số. Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau: $$ Giải hệ phương trình này, ta có: $$ Mở ngoặc và rút gọn, ta được: $$ $$ $$ $$ $$ Vì $$, nên $$. Ta có thể chia cả hai vế của phương trình trên cho $$ mà không làm thay đổi dấu bất đẳng thức, ta được: $$ Vì $$, nên $$, suy ra $$. Điều này chỉ xảy ra khi $$. Vậy ta có hệ phương trình: $$ Giải hệ phương trình này, ta được $$ và $$. Kết hợp hai bất đẳng thức này, ta có $$. Vậy ta có các giá trị có thể cho $$ và $$ là $$. Kiểm tra từng cặp giá trị $$, ta thấy chỉ có cặp $$ thỏa mãn điều kiện $$ và $$. Vậy phân số cần tìm là $$.