Tìm tất cả các số hữu tỉ dương a, b thỏa mãn a+b và 1/a + 1/b đều là số nguyên

Để tìm các số hữu tỉ dương a và b thỏa mãn a+b và 1/a + 1/b đều là số nguyên, ta có thể sử dụng phương pháp giả sử. Giả sử a+b = m và 1/a + 1/b = n, trong đó m và n là số nguyên. Ta có thể viết lại phương trình 1/a + 1/b = n thành ab = nb + na. (1) Tiếp theo, ta có thể viết lại phương trình a+b = m thành ab = mb + ma. (2) Từ (1) và (2), ta có thể suy ra rằng nb + na = mb + ma. Chuyển các thành viên chứa a và b về cùng một bên, ta được (n-m)b = (m-n)a. Vì a và b là số hữu tỉ dương, nên ta có thể giả sử a = k(n-m) và b = k(m-n), trong đó k là một số nguyên dương. Thay a và b vào phương trình (1), ta có: 1/(k(n-m)) + 1/(k(m-n)) = n. Simplifying the equation, we get: 2k/(k^2(n-m)(m-n)) = n. Do đó, ta có k^2(n-m)(m-n) chia hết cho 2k. Vì k là số nguyên dương, ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: k chia hết cho 2. Trong trường hợp này, ta có k = 2p, với p là một số nguyên dương. Thay k = 2p vào phương trình trên, ta có: 4p^2(n-m)(m-n) = 2np. Simplifying the equation, we get: 2p(n-m)(m-n) = np. Chia cả hai vế của phương trình cho p, ta có: 2(n-m)(m-n) = n. Mở ngoặc và rút gọn, ta có: 2(m^2 - mn + n^2) - 2(mn - n^2) = n. Simplifying the equation, we get: 2m^2 - 2n^2 = n. Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình này để tìm các giá trị của m và n. Trường hợp 2: k không chia hết cho 2. Trong trường hợp này, ta có k = p, với p là một số nguyên dương. Thay k = p vào phương trình trên, ta có: p^2(n-m)(m-n) = np. Chia cả hai vế của phương trình cho p, ta có: (n-m)(m-n) = n. Mở ngoặc và rút gọn, ta có: m^2 - mn + n^2 = n. Đây cũng là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình này để tìm các giá trị của m và n. Tóm lại, để tìm tất cả các số hữu tỉ dương a và b thỏa mãn a+b và 1/a + 1/b đều là số nguyên, ta cần giải phương trình bậc hai từ các trường hợp kết hợp với điều kiện số nguyên dương.