Cho tam giác ABC nhọn a) chứng minh rằng sinA + cosA >1 b) Kẻ đường cao AH. Biết góc B= 60 độ, góc C =45 độ, AH= 6cm.Tính Sabc

a) Từ B dựng BK vuông góc với AC

Xét $\vartriangle ABK\left(\widehat{AKB} =90^{0}\right)$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

$ \begin{array}{l}
\sin A=\frac{BK}{AB}\\
\cos A=\frac{AK}{AB}
\end{array}$

Ta có:

$\sin A+\cos A=\frac{BK}{AB} +\frac{AK}{AB} =\frac{BK+AK}{AB}$

Mà $BK+AK >AB$ (bất đẳng thức trong tam giác)

$\Rightarrow \frac{BK+AK}{AB}  >1\Rightarrow \sin A+\cos A >1$

b) Xét $\vartriangle AHC$ có:

$\widehat{AHC} =90^{0} ;\widehat{ACH} =45^{0} \Rightarrow \vartriangle AHC$ vuông cân tại H

$\Rightarrow AH=HC=6cm$

Xét $\vartriangle AHB$ vuông tại H, áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông có:

$\tan B=\frac{AH}{BH} \Rightarrow BH=\frac{6}{\tan 60^{0}} =2\sqrt{3} cm$

Do đó $BC=BH+CH=6+2\sqrt{3}( cm)$

$\Rightarrow S_{\vartriangle ABC} =\frac{1}{2} AH.BC=\frac{1}{2} .6.\left( 6+2\sqrt{3}\right) =18+6\sqrt{3}\left( cm^{2}\right)$