Cho tứ giác ABCD có ∠ADB=∠ACB,hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. a)Chứng minh ∆AOD~∆BOC b)Chứng minh ∆AOB~∆DOC c)Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD.Chứng minh EA.EB=ED.EC

a) Xét ΔAOB và ΔDOC, ta có:

$\displaystyle \widehat{ABD} =\widehat{ACD} \ $(giả thiết)

Hay $\displaystyle \widehat{ABO} =\widehat{OCD} ;\ \widehat{AOB} =\widehat{DOC}$ (2 góc đối đỉnh)

Vậy ΔAOB đồng dạng ΔDOC (g.g).

b) Vì ΔAOB đồng dạng ΔDOC nên:

$\displaystyle \dfrac{AO}{DO} =\dfrac{OB}{OC} \Rightarrow \dfrac{AO}{OB} =\dfrac{DO}{OC}$

Xét ΔAOD và ΔBOC ta có:

$\displaystyle \dfrac{AO}{OB} =\dfrac{DO}{OC}$ (chứng minh trên).

$\displaystyle \widehat{AOB} =\widehat{DOC}$ (đối đỉnh)

Vậy ΔAOD đồng dạng ΔBOC (c.g.c)

c) Vì ΔAOD đồng dạng ΔBOC nên: $\displaystyle \widehat{ADO} =\widehat{BCO}$ hay $\displaystyle \widehat{EDB} =\widehat{ECA}$

$\displaystyle \hat{E} \ chung$

$\displaystyle \widehat{EDB} =\widehat{ECA\ }$(chứng minh trên)

Vậy ΔEDB đồng dạng ΔECA (g.g)

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{ED}{EC} =\dfrac{EB}{EA} \Rightarrow ED.EA\ =\ EC.EB$