tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : y=-x^2+10x-5

Question

quyennn · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
y=-x^{2} +10x-5\
\Leftrightarrow y=-\left( x^{2} -2.5.x+25 ight) +20\
\Leftrightarrow y=-( x-5)^{2} +20
\end{array}$
Ta có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( x-5)^{2} \geqslant 0\
\Rightarrow -( x-5)^{2} \leqslant 0\
\Rightarrow -( x-5)^{2} +20\leqslant 20
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow ( x-5)^{2} =0\Leftrightarrow x=5$
Vậy giá trị lớn nhất là $\displaystyle y=20$ khi $\displaystyle x=5$

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = -x^2 + 10x - 5, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Biểu thức y có dạng ax^2 + bx + c, trong đó a = -1, b = 10 và c = -5.

Đầu tiên, ta sẽ chuyển biểu thức về dạng hoàn chỉnh bằng cách thêm vào cả hai vế của biểu thức một số hạng có giá trị bằng 0. Ta có:

y = -x^2 + 10x - 5 + 0

Tiếp theo, ta sẽ hoàn thành khối vuông bằng cách thêm vào cả hai vế của biểu thức một số hạng có giá trị là bình phương của một nửa hệ số b của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, nửa hệ số b là 10/2 = 5, nên ta thêm vào cả hai vế số hạng 5^2 = 25. Ta có:

y = -x^2 + 10x - 5 + 25 - 25

Sau khi hoàn thành khối vuông, ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:

y = -(x^2 - 10x + 25) + 20

Biểu thức trong dấu ngoặc vuông là một khối vuông hoàn hảo, có thể viết lại dưới dạng:

y = -(x - 5)^2 + 20

Biểu thức này có dạng của một hàm bậc hai với đỉnh là (5, 20). Vì hệ số a = -1 < 0, nên đồ thị của hàm này có dạng một đường cong hướng xuống.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức y = -x^2 + 10x - 5 là 20, đạt được khi x = 5.