Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi D là điểm đối xứng của A qua cạnh BC. Chứng minh bốn điểm A,B,C,D thuộc cùng một đường tròn

Question

orange · Accepted Answer

$\displaystyle AD\cap BC=O$
Vì AO=DO và $\displaystyle BC\perp AD\ $nên BC là đường trung trực của AD
$\displaystyle \Rightarrow BD=BA\ và\ CD=CA$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle BAC=\vartriangle BDC\Rightarrow \hat{A} =\hat{D} =90^{o}$
Mà $\displaystyle \hat{A} \ và\ \hat{D} \ đều\ nhìn\ bC\ dưới\ 1\ góc\ 90^{o}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow ABDC\ nội\ tiếp\ đường\ tròn\ đường\ kính\ BC\
\Rightarrow A,B,C,D\ thuộc\ cùng\ một\ đường\ tròn
\end{array}$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của điểm đối xứng qua một đường thẳng.

Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Ta có:
- OA = OB (vì O là trung điểm của BC)
- AD = AO (vì D là điểm đối xứng của A qua BC)

Do đó, tam giác ADO và tam giác AOB là hai tam giác cân có cạnh chung AO. Từ đó, ta có:
- Góc DAO = Góc BAO (do hai góc đối xứng với nhau qua đường thẳng AO)
- Góc ADO = Góc ABO (do hai góc đối xứng với nhau qua đường thẳng AO)

Từ đó, ta suy ra:
- Góc DAO + Góc ADO = Góc BAO + Góc ABO
- Góc DAO + Góc ADO = 180° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°)
- Góc BAO + Góc ABO = 180°

Vậy ta có: Góc DAO + Góc ADO = Góc BAO + Góc ABO = 180°

Từ đó, ta kết luận rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.

Dương · Answer

kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC ; Gọi E là giao điểm AD và BC

vì tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến => AM=2BC=> AM=BM=CM

=> A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)

ΔABE và ΔDBE có :

AE=ED ( Dđối xứng vs A qua BC)

gócAEB=góc BED ( = 90độ)

BE: chung

=> ΔABE= ΔDBE ( c.g.c)

=> góc ABE= góc DBE ; AB=BD

=> ΔABM = ΔDMB ( c.g.c) ( dễ chứng minh nha)

=> AM=DM

=> D thuộc đường tròn đường kính BC (2)

(1)(2) => A,B,C,D cùng thuộc đường tròn đường kính BC