a. Để giải phương trình 2x³-8x²-24x+64=0, ta có thể áp dụng phương pháp nhóm.
Đầu tiên, ta nhóm các thành phần của biểu thức theo cặp:
(2x³-8x²) + (-24x+64)
Tiếp theo, ta rút gọn từng cặp nhóm:
2x²(x-4) - 8(x-4)
Ta thấy rằng có một nhân tử chung là (x-4), nên ta có thể rút gọn thêm:
(x-4)(2x²-8)
Cuối cùng, ta giải phương trình (x-4)(2x²-8)=0 bằng cách đặt từng nhân tử bằng 0:
x-4=0 hoặc 2x²-8=0
Từ x-4=0, ta có x=4.
Từ 2x²-8=0, ta có 2x²=8, suy ra x²=4, và từ đó ta có x=±2.
Vậy phương trình 2x³-8x²-24x+64=0 có ba nghiệm là x=4, x=2 và x=-2.
b. Để giải phương trình 8x³-27y³-27y²-9y-1=0, ta không thể áp dụng phương pháp nhóm như trên. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp chia tỉ lệ để tìm nghiệm.
Đầu tiên, ta thấy rằng 1 là một nghiệm của phương trình. Ta chia phương trình cho (x-1):
(8x³-27y³-27y²-9y-1)/(x-1)=0
Tiếp theo, ta sử dụng công thức khai triển đa thức:
8x³-27y³-27y²-9y-1 = (x-1)(8x²+8x+8xy+27y²+27y+1)
Ta thấy rằng có một nhân tử chung là (x-1), nên ta có thể rút gọn thêm:
(x-1)(8x²+8x+8xy+27y²+27y+1) = 0
Cuối cùng, ta giải phương trình (x-1)(8x²+8x+8xy+27y²+27y+1)=0 bằng cách đặt từng nhân tử bằng 0:
x-1=0 hoặc 8x²+8x+8xy+27y²+27y+1=0
Từ x-1=0, ta có x=1.
Từ 8x²+8x+8xy+27y²+27y+1=0, ta không thể tìm ra các nghiệm cụ thể.
Vậy phương trình 8x³-27y³-27y²-9y-1=0 có một nghiệm là x=1.
c. Để giải phương trình x³+y³+z³-3xyz=0, ta không thể áp dụng phương pháp nhóm như trên. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp chia tỉ lệ để tìm nghiệm.
Đầu tiên, ta thấy rằng khi x=y=z, phương trình trở thành x³+x³+x³-3x³=0, hay x³=0. Từ đó, ta có nghiệm x=y=z=0.
Tiếp theo, ta thấy rằng khi x=-y, phương trình trở thành x³+(-x)³+z³-3xz(-x)=0, hay 2x³+z³=0. Từ đó, ta có nghiệm x=-y và z=√(2x³).
Vậy phương trình x³+y³+z³-3xyz=0 có các nghiệm là x=y=z=0 và x=-y, z=√(2x³).