Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có AB CD ∥ . Lấy M N, lần lượt là trung điểm CD AB , . a) Chứng minh AM BM = . ( Hình 2) b) Chứng minh MN là đường cao của hình thang.

a) Để chứng minh AM = BM, ta sử dụng tính chất của trung điểm.

Vì M là trung điểm của CD, ta có MC = MD.

Vì N là trung điểm của AB, ta có NA = NB.

Ta có:

AM = AC - MC

BM = BD - MD

Vì AB || CD, nên AC = BD.

Do đó:

AM = AC - MC = BD - MC

BM = BD - MD

Vì MC = MD, ta có:

AM = BD - MC

BM = BD - MC

Vậy ta có AM = BM.

b) Để chứng minh MN là đường cao của hình thang ABCD, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và tính chất của đường cao.

Gọi H là giao điểm của MN và AB.

Ta cần chứng minh AH = BH.

Vì M là trung điểm của CD, ta có:

CM = MD

Vì N là trung điểm của AB, ta có:

AN = NB

Vì MN là đường cao của tam giác ABC, ta có:

AH ⊥ MN

BH ⊥ MN

Vì MN là đường cao của tam giác ABC, ta có:

AH ⊥ BC

BH ⊥ AC

Vậy ta có hai tam giác vuông AHM và BHN.

Do đó, ta có:

AH = √(AM^2 - HM^2)

BH = √(BM^2 - HM^2)

Vì AM = BM (đã chứng minh ở câu a), ta có:

AH = √(AM^2 - HM^2)

BH = √(AM^2 - HM^2)

Vậy ta có AH = BH.

Do đó, MN là đường cao của hình thang ABCD.