Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:

a. ΔABC = ΔMDE

b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

Question

Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:

a. ΔABC = ΔMDE

b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a. Chứng minh rằng ΔABC = ΔMDE

Ta có:

- Đường thẳng $xy$ song song với $BC$ và $D, E$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng song song với $AB$ và $AC$ từ $M$. Do đó, các tam giác $ABD$ và $MBD$ có cặp cạnh song song tương ứng, nên chúng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (g-g).

- Tương tự, các tam giác $ACE$ và $MCE$ cũng đồng dạng với nhau.

Vì $xy$ song song với $BC$, nên các đoạn thẳng $AD$ và $ME$ cũng song song với nhau, và các đoạn thẳng $AE$ và $MD$ cũng song song với nhau.

Do đó, tam giác $ADE$ và tam giác $MDE$ có các cặp cạnh tương ứng song song, nên chúng đồng dạng với nhau.

Vì các tam giác $ABD$, $MBD$, $ACE$, và $MCE$ đều đồng dạng với nhau và có cùng tỉ lệ, nên diện tích của tam giác $ABC$ bằng diện tích của tam giác $MDE$.

b. Chứng minh ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm

Để chứng minh ba đường thẳng này đồng quy, ta sử dụng định lý Ceva trong tam giác.

Xét tam giác $ABC$ với các điểm $D, E, M$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB, AC, BC$.

Theo định lý Ceva, ba đường thẳng $AM, BD, CE$ đồng quy khi và chỉ khi:

$$
\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
$$

Do các tam giác $ABD$ và $MBD$ đồng dạng, ta có:

$$
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{BM}
$$

Tương tự, do các tam giác $ACE$ và $MCE$ đồng dạng, ta có:

$$
\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{CM}
$$

Và do các tam giác $ADE$ và $MDE$ đồng dạng, ta có:

$$
\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DE}
$$

Kết hợp các tỉ lệ trên, ta có:

$$
\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AM}{MB} = \frac{AB}{BM} \cdot \frac{AC}{CM} \cdot \frac{AD}{DE} = 1
$$

Do đó, theo định lý Ceva, ba đường thẳng $AM, BD, CE$ đồng quy tại một điểm.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.

Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng: a. ΔABC = ΔMDE b. Ba đường thẳng AM, BD, C...