tìm nguyên hàm x.lndxdx

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.ln(x), ta sử dụng phương pháp tích phân bằng phần. Bước 1: Gọi I là nguyên hàm cần tìm, ta có: I = ∫x.ln(x)dx Bước 2: Áp dụng phép tích phân bằng phần, ta chia hàm số f(x) thành hai phần: f(x) = u.v' + u'.v Với: u = ln(x) => u' = 1/x v' = x => v = (1/2)x^2 Bước 3: Thay các giá trị vào công thức tích phân bằng phần: I = ∫u.v' dx + ∫u'.v dx = ∫ln(x).(1/2)x^2 dx + ∫(1/x).(1/2)x^2 dx Bước 4: Tính từng phần tích phân: ∫ln(x).(1/2)x^2 dx = (1/2)∫x^2.ln(x) dx Để tính tích phân này, ta sử dụng phép tích phân bằng phần lần nữa. Gọi J là nguyên hàm của hàm số g(x) = x^2.ln(x), ta có: J = ∫x^2.ln(x) dx Áp dụng phép tích phân bằng phần: g(x) = u.v' + u'.v Với: u = ln(x) => u' = 1/x v' = x^2 => v = (1/3)x^3 Thay các giá trị vào công thức tích phân bằng phần: J = ∫u.v' dx + ∫u'.v dx = ∫ln(x).(1/3)x^3 dx + ∫(1/x).(1/3)x^3 dx Tính từng phần tích phân: ∫ln(x).(1/3)x^3 dx = (1/3)∫x^3.ln(x) dx Ta lại gặp một tích phân tương tự như trước đó. Gọi K là nguyên hàm của hàm số h(x) = x^3.ln(x), ta có: K = ∫x^3.ln(x) dx Áp dụng phép tích phân bằng phần: h(x) = u.v' + u'.v Với: u = ln(x) => u' = 1/x v' = x^3 => v = (1/4)x^4 Thay các giá trị vào công thức tích phân bằng phần: K = ∫u.v' dx + ∫u'.v dx = ∫ln(x).(1/4)x^4 dx + ∫(1/x).(1/4)x^4 dx Tính từng phần tích phân: ∫ln(x).(1/4)x^4 dx = (1/4)∫x^4.ln(x) dx Ta lại gặp một tích phân tương tự như trước đó. Gọi L là nguyên hàm của hàm số i(x) = x^4.ln(x), ta có: L = ∫x^4.ln(x) dx Áp dụng phép tích phân bằng phần: i(x) = u.v' + u'.v Với: u = ln(x) => u' = 1/x v' = x^4 => v = (1/5)x^5 Thay các giá trị vào công thức tích phân bằng phần: L = ∫u.v' dx + ∫u'.v dx = ∫ln(x).(1/5)x^5 dx + ∫(1/x).(1/5)x^5 dx Tính từng phần tích phân: ∫ln(x).(1/5)x^5 dx = (1/5)∫x^5.ln(x) dx Bước 5: Tiếp tục quá trình tích phân bằng phần cho đến khi không còn tích phân nữa. Tiếp tục tính toán, ta sẽ thu được các kết quả sau: ∫ln(x).(1/5)x^5 dx = (1/5)∫x^5.ln(x) dx = (1/5)L ∫x^3.ln(x) dx = (1/4)∫x^4.ln(x) dx = (1/4)K = (1/4)((1/5)L) = (1/20)L ∫x^2.ln(x) dx = (1/3)∫x^3.ln(x) dx = (1/3)J = (1/3)((1/20)L) = (1/60)L Bước 6: Tính phần còn lại của công thức tích phân bằng phần ban đầu: ∫(1/x).(1/2)x^2 dx = (1/2)∫x dx = (1/2)(1/2)x^2 = (1/4)x^2 Bước 7: Tổng hợp các kết quả đã tính được: I = (1/2)x^2 + (1/4)x^2 - (1/60)L = (3/4)x^2 - (1/60)L Vậy, nguyên hàm của hàm số f(x) = x.ln(x) là I = (3/4)x^2 - (1/60)L.