câu 1 đến câu 6

Câu 1: Phương pháp giải: Hàm số đa thức bậc ba luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu nên loại phương án A, B. Hàm số đa thức bậc bốn có điểm cực trị khi đạo hàm bậc hai của nó có nghiệm thực. Ta xét phương án C: \( y = x^4 + 5x - 2 \) \( y' = 4x^3 + 5 \) \( y' = 0 \Leftrightarrow 4x^3 + 5 = 0 \Leftrightarrow x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \) \( y'' = 12x^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 0 \) Suy ra đồ thị hàm số \( y = x^4 + 5x - 2 \) có điểm cực tiểu. Do đó, đồ thị hàm số \( y = -x^4 + 2x^2 + 1 \) không có điểm cực trị. Câu 2: Để xác định đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê có đúng một điểm cực trị, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng hàm số. Hàm số \( y = x^3 - 2x + 1 \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 2 \] 2. Tìm nghiệm của \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \] 3. Hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \) và \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \). Hàm số \( y = -2x^4 - x^2 + 1 \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = -8x^3 - 2x \] 2. Tìm nghiệm của \( y' = 0 \): \[ -8x^3 - 2x = 0 \implies x(-8x^2 - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } -8x^2 - 2 = 0 \] \[ -8x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = -\frac{1}{4} \] Phương trình này vô nghiệm vì \( x^2 \) không thể âm. 3. Hàm số có một điểm cực trị tại \( x = 0 \). Hàm số \( y = x^4 - 5x - 2 \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = 4x^3 - 5 \] 2. Tìm nghiệm của \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 5 = 0 \implies x^3 = \frac{5}{4} \implies x = \sqrt[3]{\frac{5}{4}} \] 3. Hàm số có một điểm cực trị tại \( x = \sqrt[3]{\frac{5}{4}} \). Hàm số \( y = \frac{2x+1}{3-4x} \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(3-4x)(2) - (2x+1)(-4)}{(3-4x)^2} = \frac{6 - 8x + 8x + 4}{(3-4x)^2} = \frac{10}{(3-4x)^2} \] 2. Tìm nghiệm của \( y' = 0 \): \[ \frac{10}{(3-4x)^2} = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì tử số không thể bằng 0. Kết luận Hàm số \( y = -2x^4 - x^2 + 1 \) có đúng một điểm cực trị tại \( x = 0 \). Đáp án: \( B.~y = -2x^4 - x^2 + 1 \). Câu 3: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 12x + 20 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x + 20) = 3x^2 - 12 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 12 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12) = 6x \] 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách thay các giá trị \( x = 2 \) và \( x = -2 \) vào đạo hàm bậc hai: - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6 \cdot 2 = 12 > 0 \] Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số có điểm cực tiểu. - Tại \( x = -2 \): \[ y''(-2) = 6 \cdot (-2) = -12 < 0 \] Do đó, tại \( x = -2 \), hàm số có điểm cực đại. 5. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \( x = 2 \): \[ y(2) = (2)^3 - 12(2) + 20 = 8 - 24 + 20 = 4 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 12x + 20 \) là \( y_{CT} = 4 \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y_{CT}=4} \] Câu 4: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = -3x^4 - 4x^3 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^4 - 4x^3 + 1) = -12x^3 - 12x^2 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -12x^3 - 12x^2 = 0 \] \[ -12x^2(x + 1) = 0 \] \[ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-12x^3 - 12x^2) = -36x^2 - 24x \] 4. Thay các điểm tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm này: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = -36(0)^2 - 24(0) = 0 \] Đạo hàm bậc hai bằng 0 tại \( x = 0 \), nên không thể kết luận chắc chắn về cực trị tại đây. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = -36(-1)^2 - 24(-1) = -36 + 24 = -12 \] Vì \( y''(-1) < 0 \), hàm số có giá trị cực đại tại \( x = -1 \). 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -3(-1)^4 - 4(-1)^3 + 1 = -3(1) - 4(-1) + 1 = -3 + 4 + 1 = 2 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số là \( y_{CD} = 2 \). Đáp án đúng là: \[ C.~y_{CD}=2. \] Câu 5: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - x + 7 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}x^3 - x + 7\right) \] \[ y' = -x^2 - 1 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -x^2 - 1 = 0 \] \[ -x^2 = 1 \] \[ x^2 = -1 \] Phương trình này không có nghiệm thực vì \( x^2 \) không thể âm. 3. Kết luận: Vì phương trình \( y' = 0 \) không có nghiệm thực, nên hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - x + 7 \) không có điểm cực trị. Do đó, số điểm cực trị của hàm số là: \[ \boxed{B. 0} \] Câu 6: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 + 100 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 100) = 4x^3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0 \] Vậy, hàm số có một điểm tới hạn tại \( x = 0 \). 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) để xác định tính chất của điểm tới hạn: - Khi \( x < 0 \), \( y' = 4x^3 < 0 \) (đạo hàm âm). - Khi \( x > 0 \), \( y' = 4x^3 > 0 \) (đạo hàm dương). Điều này cho thấy tại \( x = 0 \), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 0 \) là điểm cực tiểu của hàm số. 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 + 100 \) có duy nhất một điểm cực trị, đó là điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). Do đó, số điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 + 100 \) là: \[ \boxed{B. 1} \]