Cho ΔABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Lấy E ∈ BC. BH, CK ⊥ AE (H, K ∈ AE). Chứng minh rằng Δ MHK vuông cân.

$\displaystyle \vartriangle $BHA vuông tại H có: 
$\displaystyle \widehat{BAH} +\widehat{ABH} =90^{0}$
$\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại A có: 
$\displaystyle \widehat{BAH} +\widehat{KAC} =90^{0}$
Suy ra: $\displaystyle \widehat{ABH} =\widehat{KAC}$ 
Xét $\displaystyle \vartriangle $BHA vuông tại H và $\displaystyle \vartriangle $AKC vuông tại K có:
AB = AC ( vì $\displaystyle \vartriangle $ABC cân tại A)
$\displaystyle \widehat{ABH} =\widehat{CAK} \ $(Chứng minh trên)
$\displaystyle \Rightarrow $ $\displaystyle \vartriangle $BHA = $\displaystyle \vartriangle $AKC (cạnh huyền - góc nhọn)
$\displaystyle \Rightarrow $BH = AK (2 cạnh tương ứng)
Có: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác BAC vuông tại A
$\displaystyle \Rightarrow $ $\displaystyle AM=\frac{BC}{2} =BM=CM$
$\displaystyle \Rightarrow $Tam giác AMC cân tại M
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MAC} =\widehat{MCA}$ (tính chất tam giác cân)
Mà $\displaystyle \widehat{MBA} =\widehat{MCA}$ (tam giác ABC cân tại A)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MBA} =\widehat{MAC}$
Lại có: $\displaystyle \widehat{ABH} =\widehat{CAK}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MBA} -\widehat{ABH} =\widehat{MAC} -\widehat{CAK}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MBH} =\widehat{MAK}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $MBH và $\displaystyle \vartriangle $MAK có:
BH = AK (cmt)
$\displaystyle \widehat{MBH} =\widehat{MAK}$ (cmt)
BM = MA (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $MBH = $\displaystyle \vartriangle $MAK
$\displaystyle \Rightarrow $MH = MK (2 cạnh tương ứng) (1)
     $\displaystyle \widehat{BMH} =\widehat{AMK}$ (2 góc tương ứng)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BMH} -\widehat{AMH} =\widehat{AMK} -\widehat{AMH}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BMA} =\widehat{HMK} \ $ (*)
Tương tự: $\displaystyle \vartriangle $BAM = $\displaystyle \vartriangle $CAM (c.c.c)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BMA} =\widehat{CMA} =90^{0}$
Kết hợp (*) $\displaystyle \Rightarrow \widehat{HMK} =90^{0}$ (2)
Từ (1) (2) $\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $MHK vuông cân tại M (đpcm)