chứng minh 4^2n-3^2n-7 chia hết cho 168

Để chứng minh rằng 4^(2n) - 3^(2n) - 7 chia hết cho 168, ta sẽ sử dụng định lý Euler. Đầu tiên, ta biểu diễn 168 dưới dạng tích các số nguyên tố: 168 = 2^3 * 3 * 7. Theo định lý Euler, nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là gcd(a, m) = 1), thì a^(φ(m)) ≡ 1 (mod m), trong đó φ(m) là hàm số Euler, đếm số nguyên tố cùng nhau với m trong khoảng từ 1 đến m. Áp dụng định lý Euler vào bài toán này, ta có: 4^(φ(168)) ≡ 1 (mod 168) 3^(φ(168)) ≡ 1 (mod 168) Ta cần tính giá trị của φ(168): φ(168) = φ(2^3 * 3 * 7) = φ(2^3) * φ(3) * φ(7) = (2^3 - 2^2) * (3 - 1) * (7 - 1) = 4 * 2 * 6 = 48 Vậy, ta có: 4^48 ≡ 1 (mod 168) 3^48 ≡ 1 (mod 168) Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng 4^(2n) - 3^(2n) - 7 chia hết cho 168 bằng cách chứng minh rằng (4^48)^n - (3^48)^n - 7 chia hết cho 168. Ta có: (4^48)^n - (3^48)^n - 7 ≡ 1^n - 1^n - 7 ≡ 1 - 1 - 7 ≡ -7 (mod 168) Vì -7 chia hết cho 168, nên ta kết luận rằng 4^(2n) - 3^(2n) - 7 chia hết cho 168.