Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=3a+ab+abc

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3a+ab+abc với a, b, c là các số thực không âm và a+b+c=4, ta có thể sử dụng phương pháp đặt giả thuyết và chứng minh. Giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Do đó, ta có a >= b và a >= c. Vì a+b+c=4 nên a <= 4 và b, c >= 0. Thay a = 4 - b - c vào biểu thức P, ta được: P = 3(4 - b - c) + (4 - b - c)b + (4 - b - c)bc = 12 - 3b - 3c + 4b - b^2 - bc + 4bc - b^2c - c^2c = 12 + b - 2b^2 - c + bc - c^2c Để P đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 2b^2 + c - bc + c^2c. Đặt Q = 2b^2 + c - bc + c^2c. Ta có thể chứng minh rằng Q >= 0 với mọi giá trị của b và c. Đầu tiên, ta có 2b^2 >= 0 vì b là số thực không âm. Tiếp theo, ta có c - bc + c^2c = c(1 - b + c^2) >= 0 vì c là số thực không âm và 1 - b + c^2 >= 0 (vì a >= b nên 1 - b + c^2 = 1 - (4 - c - a) + c^2 = a + 2c^2 - 3c >= 0). Vì vậy, Q >= 0. Do đó, giá trị lớn nhất của P = 12 + b - Q = 12 + b - 0 = 12 + b <= 12 + 4 = 16. Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức P=3a+ab+abc là 16.