Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Gọi MA, MB là hai
tiếp tuyến với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của
đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của OM và AB, I là trung điểm của đoạn thẳng
BD
1) Chứng minh tứ giác OHBI là hình chữ nhật
2) Cho biết OI cắt MB tại K, chứng minh KD là tiếp tuyến cảu (O)
3) Giả sử OM = 2R, tính chu vi tam giác AKD theo R.
4) Đường thẳng qua O và vuông góc với MD cắt tia AB tại Q. Chứng minh K là
trung điểm của DQ

Question

Hoenhoen · Accepted Answer

1.
Ta có:
OD=OB
Suy ra tam giác OBD cân tại O
Lại có I là trung điểm của ID
Suy ra OI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao vừa là phân giác trong tam giác cân OBD
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow OI\bot BD\
\Rightarrow \widehat{OIB} =90^{o}
\end{array}$
Ta có:
$\displaystyle \widehat{ABD} =90^{o}$ ( góc nội tiếp chắn nửa tròn đường kính AD)
Xét 2 tam giác vuông OAM vuông tại A và OBM vuông tại B có:
OA=OB
OM chung
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OAM=\vartriangle OBM$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\displaystyle \Rightarrow $Tam giác OAM và OBM đối xứng nhau qua OM
Mà AB cắt OM tại H
Suy ra AB vuông góc với OM tại H
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OHB} =90^{o}$
Trong tứ giác OHBI có:
$\displaystyle \widehat{OHB} =\widehat{OIB} =\widehat{IBH} =90^{o}$
Suy ra OHBI là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
2.
Xét 2 tam giác OKD và OKB có:
OK chung
OD=OB ( bán kính đường tròn (O))
$\displaystyle \widehat{DOK} =\widehat{BOK}$ (OI là phân giác của góc BOD)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \vartriangle OKD=\vartriangle OKB( c.g.c)\
\Rightarrow \widehat{ODK} =\widehat{OBK}
\end{array}$
Mà $\displaystyle \widehat{OBK} =90^{o}$(MK là tiếp tuyến của (O) tại B
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{ODK} =90^{o}\
\Rightarrow OD\bot DK
\end{array}$
Mà OD là bán kính của (O)
Suy ra DK là bán kính của (O)

Timi · Answer

1) Chứng minh tứ giác OHBI là hình chữ nhật:
- Ta có: ∠OHB = 90° (vì OH ⊥ AB)
- ∠HBI = 90° (vì HB ⊥ BI)
- ∠BIO = 90° (vì BI ⊥ IO)
- ∠OIH = 90° (vì OI ⊥ IH)
Vậy, tứ giác OHBI là hình chữ nhật.

2) Cho biết OI cắt MB tại K, chứng minh KD là tiếp tuyến của (O):
- Ta có: ∠KDO = ∠KIO (vì tứ giác OHBI là hình chữ nhật)
- Mà ∠KIO = ∠KBA (vì OB ⊥ BA)
- Nên ∠KDO = ∠KBA
- Mà ∠KBA = ∠KDA (vì AD là đường kính của đường tròn (O))
- Vậy, ∠KDO = ∠KDA
- Suy ra, KD là tiếp tuyến của (O).

3) Giả sử OM = 2R, tính chu vi tam giác AKD theo R:
- Ta có: AD = 2R (vì AD là đường kính của đường tròn (O))
- Mà KD ⊥ AD (vì KD là tiếp tuyến của (O))
- Nên, AK = √(AD² - KD²) = √(4R² - R²) = √3R
- Vậy, chu vi tam giác AKD = AK + AD + KD = √3R + 2R + R = (2 + √3)R

4) Đường thẳng qua O và vuông góc với MD cắt tia AB tại Q. Chứng minh K là trung điểm của DQ:
- Ta có: ∠ODQ = ∠OMD = 90° (vì OD ⊥ MD và OD ⊥ DQ)
- Nên, OQDM là hình chữ nhật.
- Vậy, OQ = MD = R (vì OM = 2R và OM ⊥ MD)
- Mà OK = OI = R/2 (vì OI là bán kính của đường tròn (O))
- Nên, KQ = OQ - OK = R - R/2 = R/2
- Mà KD = R (vì KD là tiếp tuyến của (O))
- Vậy, K là trung điểm của DQ.

호앙 · Answer

Ta có MA và MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠MAB = ∠MBA = 90°
Do đó, tam giác MAB là tam giác vuông tại A và B.
Vì H là giao điểm của OM và AB, nên OH là đường cao của tam giác MAB. Vì tam giác MAB là tam giác vuông, nên OH là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác MAB.
Vì I là trung điểm của BD, nên BI cắt HD ở I và I là trung điểm của HD.
Do đó, ta có OH = BI và HI = OD.
Vậy, tứ giác OHBI là hình chữ nhật vì có các cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo bằng nhau.
Ta đã chứng minh được tứ giác OHBI là hình chữ nhật. Vì I là trung điểm của BD, nên IO song song với BD. Vì MB là tiếp tuyến với đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠OMB = 90°
Vậy, IO cắt MB tại K và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giả sử OM = 2R. Ta có OH = BI (vì OHBI là hình chữ nhật) và HI = OD (vì I là trung điểm của BD).
Vì OH = BI = R và HI = OD = R, ta có OH = HI = R.
Tam giác AKD là tam giác vuông tại K (vì KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AK^2 + KD^2 = AD^2
Vì AK = 2R (vì OM = 2R) và AD = 2R (vì AD là đường kính của đường tròn (O)), ta có:
(2R)^2 + KD^2 = (2R)^2
4R^2 + KD^2 = 4R^2
KD^2 = 0
Vậy, KD = 0.
Do KD = 0, nên KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Đường thẳng qua O và vuông góc với MD cắt tia AB tại Q. Ta cần chứng minh K là trung điểm của DQ.
Vì OQ vuông góc với MD và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến và đường kính, ta có:
∠OKD = 90° và ∠ODK = 90°
Do đó, tam giác OKD là tam giác vuông tại K.
Vì KD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠KDO = ∠KOD = 90°
Vậy, tam giác OKD là tam giác vuông cân.
Vì OK = KD (vì tam giác OKD là tam giác vuông cân), nên K là trung điểm của OD.
Vì Q là giao điểm của đường thẳng OQ và tia AB, nên QD cắt AB ở một điểm P.
Vì K là trung điểm của OD, nên theo định lý về trung điểm, ta có:
KP = PD
Vậy, K là trung điểm của DQ.

Upgrade Titan Cinemaman · Answer

Để chứng minh các phần tử trong bài toán, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học và tính chất của đường tròn. Dưới đây là cách chứng minh từng phần tử:

Tứ giác OHBI là hình chữ nhật:

Ta có MA và MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O), nên OA ⊥ MA và OB ⊥ MB.
Do đó, OA và OB là hai đường cao của tam giác OMA và tam giác OMB.
Vì OI là đường trung trực của BD, nên OI ⊥ BD và I là trung điểm của BD.
Khi đó, ta có OH ⊥ AB và HI ⊥ AB.
Vì OH và HI là hai đường cao của tam giác OAB, nên OH = HI.
Vì OI = BI (do I là trung điểm của BD), nên tứ giác OHBI là hình chữ nhật.

KD là tiếp tuyến của đường tròn (O):

Ta có OI ⊥ BD và KD ⊥ BD (vì KD là đường kính của đường tròn (O)).
Vì OI và KD cùng vuông góc với BD, nên OI || KD.
Vì OI cắt MB tại K, nên theo nguyên lý cắt giao, ta có KD || MB.
Vì KD và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên KD cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tính chu vi tam giác AKD theo R khi OM = 2R:

Gọi E là giao điểm của AD và MB.
Ta có AE ⊥ MB (vì AE là đường cao của tam giác ABD) và KD ⊥ MB (vì KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Vì AE và KD cùng vuông góc với MB, nên AE || KD.
Vì I là trung điểm của BD, nên AI = ID.
Vì OHBI là hình chữ nhật, nên HI = OB = R.
Vì OI ⊥ BD và AI = ID, nên tam giác OIA và tam giác DIB đồng dạng.
Khi đó, ta có AI/OD = OA/DB = R/2R = 1/2.
Vì AE || KD và AI/ID = 1/2, nên tam giác AKE và tam giác DKD đồng dạng theo nguyên lý đồng dạng tỉ lệ.
Vì OM = 2R, nên AM = 2R - R = R.
Vì AK = AM + MK = R + MK, nên AK = R + KD (do tam giác AKE và tam giác DKD đồng dạng).
Vì KD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên KD = R.
Khi đó, AK = R + R = 2R.
Chu vi tam giác AKD là AK + KD + AD = 2R + R + 2R = 5R.

Chứng minh K là trung điểm của DQ:

Đường thẳng qua O và vuông góc với MD cắt tia AB tại Q.
Gọi P là giao điểm của KD và AB.
Ta cần chứng minh OP || MD và K là trung điểm của DQ.
Vì OP và KD cùng vuông góc với MD, nên OP || KD.
Vì KD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên KD ⊥ AB.
Vì OP || KD và KD ⊥ AB, nên OP ⊥ AB.
Vì OP ⊥ AB, nên OP là đường cao của tam giác OAB.
Vì HI ⊥ AB (từ phần 1), nên OP

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của OM và AB, I là trung điểm c...