Cho hbh ABCD. Vẽ về phía ngoài hbh, 2 hình vuông ABEF và ADGH. CM:

a) AC=FH và AC⊥FH;

b) tam giác CEG là tam giác vuông cân
Giúp mình với !

Question

Cho hbh ABCD. Vẽ về phía ngoài hbh, 2 hình vuông ABEF và ADGH. CM:

a) AC=FH và AC⊥FH;

b) tam giác CEG là tam giác vuông cân
Giúp mình với !

Accepted Answer

a, Ta có:
$\displaystyle \widehat{HAF} +\widehat{FAB} +\widehat{DAB} +\widehat{DAH} =360^{o}$
mà $\displaystyle \widehat{FAB} =\widehat{DAH} =90^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HAF} +\widehat{DAB} =90^{o}$
Có $\displaystyle \widehat{ADC} +\widehat{DAB} =180^{o}$ (2 góc ở vị trí trong cùng phía nên kề bù)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HAF} =\widehat{ADC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle HAF$ và $\displaystyle \vartriangle ADC$ có:
$\displaystyle HA=AD$ (tứ giác ADGH là hình vuông)
$\displaystyle \widehat{HAF} =\widehat{ADC}$ (cmt)
$\displaystyle AF=DC$ (tứ giác ABEF là hình vuông)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle HAF=\vartriangle ADC$ (c.g.c)
$\displaystyle \Rightarrow FH=CA$ (2 cạnh tương ứng)
Vì ABFE là hình vuông, nên các cạnh AB và FE là song song và bằng nhau.
Tương tự, vì ADGH là hình vuông, nên các cạnh AD và GH cũng là song song và bằng nhau.
Do đó, ta có AB // FE và AD // GH. Vì AC = FH và AB // FE, AD // GH,
nên theo tính chất của các đường song song, ta có AC // FH. Do đó, AC $\displaystyle \bot $ FH.
b,Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{CBE} =\widehat{ABC} +90^{o}\
\widehat{GDC} =\widehat{ADC} +90^{o}\
Mà\ \widehat{ABC} =\widehat{ADC}\
\Rightarrow \widehat{CBE} =\widehat{GDC}
\end{array}$
Xét $\displaystyle \vartriangle CBE$ và $\displaystyle \vartriangle GDC$ có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
EB=CD\
\widehat{CBE} =\widehat{GDC}\
CB=GD\
\Rightarrow \vartriangle CBE=\vartriangle GDC\ ( c.g.c)\
\Rightarrow CE=GC\
\Rightarrow \vartriangle CEG\ cân
\end{array}$

Cho hbh ABCD. Vẽ về phía ngoài hbh, 2 hình vuông ABEF và ADGH. CM: a) AC=FH và AC⊥FH; b) tam giác CEG là tam giác vuông cân Giúp mình với !