Bài 2. Cho tam giác (A B C có ba đường cao A D, B E, C F đòng quy tại H Gọi K là giao điểm của E F và A H ; I là trung điểm A H . Lấy điểm T trên C F sao cho góc A T B=90 độ. Chứng minh rằng a) Hai tam...

a) Hai tam giác I E K và A D H đồng dạng Chứng minh: Ta có ∠EIK = ∠DAH (do cùng bằng 90 độ) và ∠IEK = ∠ADH (do cùng chéo góc với ∠AHE) Do đó, theo định lý góc-góc, ta có tam giác IEK đồng dạng với tam giác ADH. b) K là trực tâm tam giác I B C Chứng minh: Do tam giác IEK đồng dạng với tam giác ADH nên ∠IKB = ∠DHA = 90 độ (vì DH là đường cao của tam giác ABC). Mà ∠IKC = 90 độ (do EF ⊥ AC tại K) nên K là trực tâm của tam giác IBC. c) Hai đường tròn (B F T) và (C E T) tiếp xúc Chứng minh: Gọi O1, O2 lần lượt là tâm của (BFT) và (CET). Ta có ∠TO1F = ∠TO2E = 90 độ (do OT vuông góc với đường kính của đường tròn). Vì vậy, O1T = O2T. Mặt khác, ∠O1TB = ∠O2TC = 180 độ - ∠ATB = ∠ATC (do AT là phân giác trong của ∠BAC). Do đó, tam giác O1TB đồng dạng với tam giác O2TC (theo định lý cạnh-góc-cạnh) nên O1B = O2C. Vậy hai đường tròn (BFT) và (CET) tiếp xúc với nhau.