Cho tam giác ABC và đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiêu của H trên AB, AC.
1) Chứng minh: AH = AI . AB và AI . AB=AK . AC
2) Chứng minh: các tam giác ABC và AKI đồng dạng.
3) Kẻ thêm các đường cao BD và CE của tam giác ABC.
a) Chứng minh ED//IK
b) Chứng minh rằng SpEH (1 – cos’A – cos’B – cosC). SABC

Question

tran_tri_tai · Accepted Answer

1/ có AH vuông BC
⟹ tam giác AHB vuông tại H, có HI là đường cao (vì HI vuông AB)
⟹$\displaystyle AH^{2} =AI.AB$
chứng minh tương tự ta được:
$\displaystyle AH^{2} =AK.AC$
⟹ AI.AB=AK.AC
2/ có: AI.AB=AK.AC (cmt)
⟹$\displaystyle \frac{AI}{AC} =\frac{AK}{AB}$
xét $\displaystyle \vartriangle AIK\ và\ \vartriangle ACB$ có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\hat{A} \ chung\
\frac{AI}{AC} =\frac{AK}{AB}
\end{array}$
⟹$\displaystyle \vartriangle AIK\ \backsim \vartriangle ACB$ (c-g-c)

Timi · Answer

1) Chứng minh: AH = AI . AB và AI . AB=AK . AC
- Ta có: AI/AB = AH/AI (vì AIH là tam giác vuông cân tại I)
=> AI^2 = AB.AH
- Tương tự, ta có: AK^2 = AC.AH
=> AI . AB = AK . AC

2) Chứng minh: các tam giác ABC và AKI đồng dạng.
- Ta có: AI/AB = AK/AC (đã chứng minh ở câu 1)
- Và ∠BAI = ∠CAK (cùng chắn cung BC)
=> Tam giác ABC đồng dạng với tam giác AKI.

3) Kẻ thêm các đường cao BD và CE của tam giác ABC.
a) Chứng minh ED//IK
- Ta có: ∠EDI = ∠KIH (cùng bằng 90 độ)
- Và ∠IDE = ∠IKH (do tam giác ABC đồng dạng với tam giác AKI)
=> ED // IK (hai góc bằng nhau)

b) Chứng minh rằng SpEH (1 – cos’A – cos’B – cosC). SABC
- Ta có: SpEH = 1/2.EH^2.sinA = 1/2.AH^2.sinA.cosA = 1/2.AB.AC.sinA.cosA
- Tương tự, ta có: SpABC = 1/2.AB.AC.sinA
- Do đó: SpEH/SABC = cosA
- Tương tự, ta có: SpDH/SABC = cosB và SpFH/SABC = cosC
=> SpEH (1 – cos’A – cos’B – cosC). SABC = 0.

Cho tam giác ABC và đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiêu của H trên AB, AC. 1) Chứng minh: AH = AI . AB và AI . AB=AK . AC 2) Chứng minh: các tam giác ABC và AKI đồng dạng. 3) Kẻ thêm các đườn...