Bài 6: Cho AABC vuông tại A có AC = 16cm BC = 20cm về đường cao AK. Gọi E, F lần lượt là hình chiều của K lên AB và AC. a) Tính độ dài BK, AK. b) Chung minh: AE.AB+AF. AC = 2A * K ^ 2

a) Ta có tam giác AABC vuông tại A, do đó theo định lý Pythagore ta có: AB = √(BC^2 - AC^2) = √(20^2 - 16^2) = √144 = 12 cm Vì AK là đường cao của tam giác ABC nên AK vuông góc với BC. Do đó, tam giác AKB cũng là tam giác vuông và ta có thể áp dụng định lý Pythagore để tính BK: BK = √(BC^2 - AK^2) Nhưng trước hết, ta cần phải tìm AK. Ta có công thức diện tích tam giác khi biết 2 cạnh và góc giữa chúng: S_ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 12 * 16 = 96 (cm^2) S_ABC cũng bằng 1/2 * BC * AK (vì AK là đường cao), do đó: 96 = 1/2 * 20 * AK => AK = 96 / 10 = 9.6 cm Giờ ta có thể tìm BK: BK = √(BC^2 - AK^2) = √(20^2 - 9.6^2) = √230.56 = 15.18 cm b) Theo định lý diện tích tam giác, ta có: S_AEK = 1/2 * AE * AK và S_AKF = 1/2 * AF * AK Do đó: AE * AK + AF * AK = 2 * (S_AEK + S_AKF) = 2 * S_ABC Nhưng AE = AB - BE và AF = AC - CF. Vì BE = CF = BK, ta có: (AB - BK) * AK + (AC - BK) * AK = 2 * S_ABC => (AB + AC - 2BK) * AK = 2 * S_ABC Nhưng AB + AC - 2BK = 2AK (đã chứng minh ở phần a), do đó: 2AK * AK = 2 * S_ABC => 2AK^2 = 2 * S_ABC => AK^2 = S_ABC Do đó, AE.AB + AF.AC = 2AK^2 = 2S_ABC, điều cần chứng minh.