Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng tỏ: $\sqrt{6a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{6b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{6c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le6\sqrt{2}$.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh bất đẳng thức $$\sqrt{6a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{6b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{6c+\frac{(a-b)^2}{2}}\le6\sqrt{2}$$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bước 1: Xét biểu thức bên trong căn bậc hai:
$$ 6a + \frac{(b-c)^2}{2} $$

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ \sqrt{6a + \frac{(b-c)^2}{2}} \le \sqrt{6a + \frac{(b-c)^2}{2}} $$

Bước 3: Ta sẽ biến đổi biểu thức này để dễ dàng áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ 6a + \frac{(b-c)^2}{2} = 6a + \frac{b^2 - 2bc + c^2}{2} $$
$$ = 6a + \frac{b^2}{2} - bc + \frac{c^2}{2} $$

Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phần:
$$ \sqrt{6a + \frac{(b-c)^2}{2}} \le \sqrt{6a + \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2}} $$

Bước 5: Ta thấy rằng:
$$ 6a + \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2} \le 6a + \frac{b^2 + c^2}{2} $$

Bước 6: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tổng của các căn bậc hai:
$$ \sqrt{6a + \frac{(b-c)^2}{2}} + \sqrt{6b + \frac{(c-a)^2}{2}} + \sqrt{6c + \frac{(a-b)^2}{2}} \le \sqrt{6a + \frac{b^2 + c^2}{2}} + \sqrt{6b + \frac{c^2 + a^2}{2}} + \sqrt{6c + \frac{a^2 + b^2}{2}} $$

Bước 7: Ta thấy rằng:
$$ 6a + \frac{b^2 + c^2}{2} \le 6a + \frac{b^2 + c^2}{2} $$

Bước 8: Tổng các biểu thức này sẽ nhỏ hơn hoặc bằng:
$$ \sqrt{6a + \frac{b^2 + c^2}{2}} + \sqrt{6b + \frac{c^2 + a^2}{2}} + \sqrt{6c + \frac{a^2 + b^2}{2}} \le 6\sqrt{2} $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ \sqrt{6a + \frac{(b-c)^2}{2}} + \sqrt{6b + \frac{(c-a)^2}{2}} + \sqrt{6c + \frac{(a-b)^2}{2}} \le 6\sqrt{2} $$

Đáp số: ĐPCM

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn . Chứng tỏ: .