1. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai 0.04 mm. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết a) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm....

Đây là các bài toán về xác suất và thống kê, cụ thể là phân phối chuẩn, ước lượng khoảng tin cậy và tìm kích thước mẫu. 1. Đầu tiên, chúng ta cần biết rằng phân phối chuẩn có công thức xác suất như sau: $P(a \leq X \leq b) = \Phi(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a - \mu}{\sigma})$ với $\Phi$ là hàm phân phối chuẩn, $\mu$ là kỳ vọng và $\sigma$ là độ lệch chuẩn (căn bậc hai của phương sai). 2. Đối với bài toán ước lượng khoảng tin cậy, chúng ta sử dụng công thức: $\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ với $\bar{X}$ là giá trị trung bình mẫu, $Z_{\alpha/2}$ là giá trị Z tương ứng với mức độ tin cậy, $\sigma$ là độ lệch chuẩn và $n$ là kích thước mẫu. 3. Đối với bài toán tìm kích thước mẫu, chúng ta sử dụng công thức: $n = (\frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E})^2$ với $E$ là độ chính xác mong muốn. Bây giờ, hãy giải quyết từng bài toán một: 1. a) Đầu tiên, chúng ta cần chuyển đổi đường kính thành z-score: $z_1 = \frac{19.9 - 20}{\sqrt{0.04}} = -0.5$, $z_2 = \frac{20.3 - 20}{\sqrt{0.04}} = 1.5$. Sau đó, sử dụng bảng phân phối chuẩn để tìm xác suất: $P(19.9 \leq X \leq 20.3) = \Phi(1.5) - \Phi(-0.5)$. b) Tương tự, chúng ta có: $z_1 = \frac{19.7 - 20}{\sqrt{0.04}} = -1.5$, $z_2 = \frac{20.3 - 20}{\sqrt{0.04}} = 1.5$. Vậy $P(19.7 \leq X \leq 20.3) = \Phi(1.5) - \Phi(-1.5)$. 2. Sử dụng công thức ước lượng khoảng tin cậy, chúng ta có: $\bar{X} = 28$, $\sigma = 5$, $n = 12$, và $Z_{\alpha/2}$ tương ứng với mức độ tin cậy 99% là 2.576. Vậy khoảng tin cậy 99% cho số học sinh trung bình là: $28 \pm 2.576 \cdot \frac{5}{\sqrt{12}}$. 3. a) Trung bình $\bar{X} = \frac{\sum{x \cdot f}}{n}$ với $x$ là giá trị thời gian và $f$ là tần số. Hệ số biên thiên $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}}$ với $\sigma$ là độ lệch chuẩn. b) Giả sử thời gian gia công tuân theo phân phối chuẩn, chúng ta có thể ước lượng khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ chi tiết máy cần trên 20 phút để hoàn thành bằng cách sử dụng công thức ước lượng khoảng tin cậy. 4. Sử dụng công thức tìm kích thước mẫu, chúng ta có: $Z_{\alpha/2} = 1.645$ (tương ứng với mức độ tin cậy 90%), $\sigma = 1.2$, và $E = 0.2$. Vậy kích thước mẫu n cần tìm là: $n = (\frac{1.645 \cdot 1.2}{0.2})^2$.