Cho đường tròn (O ; R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S, SC cắt (O, R) tại điểm thứ hai là M. a) Chứng minh tam giác SMA đồ...

a.
Xét 2 tam giác SMA và SBC có:
$\displaystyle \widehat{MSA}$ chung
$\displaystyle \widehat{MAS} =\widehat{SCB}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle SMA\sim \vartriangle SBC( g.g)$
b.
Vì $\displaystyle AB\bot CD$
Suy ra số đo cung AC bằng số đo cung AD
$\displaystyle \widehat{AMD} =\widehat{ABC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung có số đo bằng nhau)
hay $\displaystyle \widehat{HMK} =\widehat{KBH}$, mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HK
Suy ra BMHK là tứ giác nội tiếp
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{HMB} +\widehat{HKB} =180^{o}\\
mà\ \widehat{HMB} =\widehat{AMB} =90^{o}\\
\Rightarrow \widehat{HKB} =90^{o}\\
\Rightarrow HK\bot AB\\
AB\bot CD\\
\Rightarrow HK//CD
\end{array}$
c.
Vẽ đường kính MN
Xét 2 tam giác AON và BOM có:
OA=OB=R
$\displaystyle \widehat{AON} =\widehat{BOM}$ (đối đỉnh)
OM=ON=R
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \vartriangle AON=\vartriangle BOM\ ( c.g.c)\\
\Rightarrow AN=BM
\end{array}$
Suy ra cung AN= cung BM
Ta có:
$\displaystyle \widehat{ASC} =\frac{sđ\ cung\ AC-sđ\ cung\ BM}{2}$ (tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đg tròn)
$\displaystyle \widehat{NMD} =\frac{1}{2} sđ\ cung\ DN$ (tính chất góc nội tiếp)
$\displaystyle \widehat{NMD} =\frac{sđ\ cung\ AD-sđ\ cung\ AN}{2}$
Mà cung AC bằng cung AD,cung BM bằng cung AN
Suy ra $\displaystyle \widehat{ASC} =\widehat{NMD} \ hay\ \widehat{OMK} =\widehat{OSM}$
Xét 2 tam giác OKM và OMS có:
$\displaystyle \widehat{MOS}$ chung
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{OMK} =\widehat{OSM}( cmt)\\
\Rightarrow \vartriangle OKM\sim \vartriangle OMS\ ( g.g)\\
\Rightarrow \frac{OK}{OM} =\frac{OM}{OS}\\
\Rightarrow OK.OS=OM^{2} =R^{2}
\end{array}$