xét tính tăng giảm của dãy số un với un = -2n+1/n+1

Question

nguyenan12 · Accepted Answer

Xét hiệu: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} u_{n+1} -u_{n} =-\frac{2( n+1) +1}{n+1+1} +\frac{2n+1}{n+1}\ =\frac{2n+1}{n+1} -\frac{2n+3}{n+2}\ =\frac{\left( 2n^{2} +n+4n+2 ight) -\left( 2n^{2} +2n+3n+3 ight)}{( n+1)( n+2)}\ =\frac{-1}{( n+1)( n+2)} \end{array}$ Vì $\displaystyle n\in N$ nên $\displaystyle n+1 >0,\ n+2 >0\Rightarrow ( n+1)( n+2) >0$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{-1}{( n+1)( n+2)} < 0\Rightarrow u_{n+1} -u_{n} < 0\Rightarrow u_{n+1} < u_{n}$ $\displaystyle \Rightarrow U_{n}$ là dãy giảm

Timi · Answer

Để xác định tính tăng giảm của dãy số $u_n = \frac{{-2n+1}}{{n+1}}$, ta cần xem xét sự thay đổi của các phần tử liên tiếp trong dãy. Đầu tiên, chúng ta có thể tính giá trị của $u_n$ cho một vài giá trị của $n$ để có cái nhìn tổng quát về dãy số này. Khi $n = 1$, ta có: $$u_1 = \frac{{-2(1)+1}}{{1+1}} = -\frac{1}{2}$$ Khi $n = 2$, ta có: $$u_2 = \frac{{-2(2)+1}}{{2+1}} = -\frac{3}{3} = -1$$ Khi $n = 3$, ta có: $$u_3 = \frac{{-2(3)+1}}{{3+1}} = -\frac{5}{4}$$ Từ các giá trị trên, ta thấy rằng dãy số $u_n$ giảm dần khi $n$ tăng. Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp tính đạo hàm. Để xác định tính tăng giảm của dãy số, ta cần xem xét sự thay đổi của $u_{n+1} - u_n$. Nếu $u_{n+1} - u_n < 0$ với mọi giá trị của $n$, thì dãy số $u_n$ là dãy giảm dần. Bây giờ, chúng ta sẽ tính $u_{n+1} - u_n$: $$u_{n+1} - u_n = \frac{{-2(n+1)+1}}{{(n+1)+1}} - \frac{{-2n+1}}{{n+1}}$$ Để tính toán phép trừ này, ta cần tìm một cách để đồng nhất các mẫu số. Ta nhân mỗi phân số với một biểu thức phù hợp để đạt được điều này: $$u_{n+1} - u_n = \frac{{-2(n+1)+1}}{{(n+1)+1}} - \frac{{-2n+1}}{{n+1}} \cdot \frac{{(n+1)+1}}{{(n+1)+1}}$$ $$= \frac{{-2n-2+1}}{{n+2}} - \frac{{-2n+1}}{{n+1}} \cdot \frac{{n+2}}{{n+2}}$$ $$= \frac{{-2n-1}}{{n+2}} + \frac{{2n+2}}{{n+1}}$$ Tiếp theo, ta sẽ kết hợp các phân số thành một phân số duy nhất: $$u_{n+1} - u_n = \frac{{(-2n-1)(n+1) + (2n+2)(n+2)}}{{(n+2)(n+1)}}$$ Để đơn giản hóa phân số này, ta có thể nhân các đại lượng trong ngoặc: $$u_{n+1} - u_n = \frac{{(-2n-1)(n+1) + (2n+2)(n+2)}}{{(n+2)(n+1)}}$$ $$= \frac{{-2n^2 - 2n - n - 1 + 2n^2 + 4n + 2n + 4}}{{(n+2)(n+1)}}$$ $$= \frac{{3n + 3}}{{(n+2)(n+1)}}$$ Cuối cùng, ta cần xác định điều kiện để $u_{n+1} - u_n < 0$. Điều này tương đương với việc giải phương trình: $$\frac{{3n + 3}}{{(n+2)(n+1)}} < 0$$ Để giải phương trình này, ta cần xác định các giá trị của $n$ thỏa mãn điều kiện này. Ta sẽ xác định các điểm chuyển đổi bằng cách giải phương trình: $$3n + 3 = 0$$ $$n = -1$$ Từ đó, ta có thể vẽ biểu đồ dấu của $u_{n+1} - u_n$ để xác định tính tăng giảm của dãy số: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n & -\infty & -1 & +\infty \ \hline u_{n+1} - u_n & + & 0 & - \ \hline \end{array} $$ Từ biểu đồ dấu, ta thấy rằng $u_{n+1} - u_n < 0$ khi $n > -1$, tức là dãy số $u_n$ giảm dần khi $n > -1$. Vậy, kết luận là dãy số $u_n$ là dãy giảm dần.

Annie · Answer

Dãy số giảm