giúp tôi với . Chứng minh OH II GF..,Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M ,N , I lần lượt,là trung điểm SA, SB ,BC .,a) Chứng minh: $(OMN)//(SCD).$,b) Tìm giao điểm P của IN và (SAD).,c) Gọi K là trung điểm OM . Chứng minh $KI//(SCD).$,d) Gọi J thuộc SC sao cho $SJ=2JC,$ G là giao điểm của AI và BD . Chứng minh,GJ //(SAD).

Question

thao · Accepted Answer

Timi · Answer

Bài 8:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh: $(OMN) \parallel (SCD)$.

Lập luận:

1. Tính chất của hình bình hành:
   - Vì ABCD là hình bình hành nên $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ và $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $.

2. Xác định các điểm trung điểm:
   - $ M $ là trung điểm của $ SA $ nên $ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} $.
   - $ N $ là trung điểm của $ SB $ nên $ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} $.
   - $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC} $.

3. Chứng minh $(OMN) \parallel (SCD)$:
   - Xét hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(OMN)$: $ \overrightarrow{OM} $ và $ \overrightarrow{ON} $.
   - Xét hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(SCD)$: $ \overrightarrow{SC} $ và $ \overrightarrow{CD} $.
   - Ta có: 
     $$
     \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}
     $$
   - Do $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $, nên $ \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} $.
   - Vậy $\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} \parallel \overrightarrow{CD}$.
   - Do đó, $(OMN) \parallel (SCD)$.

b) Tìm giao điểm $ P $ của $ IN $ và $(SAD)$.

Lập luận:

1. Phương trình đường thẳng $ IN $:
   - $ I $ là trung điểm của $ BC $, $ N $ là trung điểm của $ SB $.
   - Phương trình tham số của $ IN $ có dạng: $ \overrightarrow{r} = \overrightarrow{OI} + t(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OI}) $.

2. Mặt phẳng $(SAD)$:
   - Gồm các vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{SA} $ và $ \overrightarrow{AD} $.

3. Tìm giao điểm $ P $:
   - $ P $ thuộc $ IN $ và $(SAD)$, nên tọa độ $ P $ thỏa mãn cả phương trình tham số của $ IN $ và phương trình mặt phẳng $(SAD)$.
   - Giải hệ phương trình để tìm $ t $ và tọa độ $ P $.

c) Gọi $ K $ là trung điểm $ OM $. Chứng minh $ KI \parallel (SCD) $.

Lập luận:

1. Xác định $ K $:
   - $ K $ là trung điểm của $ OM $ nên $ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OM} $.

2. Chứng minh $ KI \parallel (SCD) $:
   - $ \overrightarrow{KI} = \overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OI} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OM} $.
   - Từ phần a, ta đã có $(OMN) \parallel (SCD)$, do đó $ \overrightarrow{KI} $ cũng song song với mặt phẳng $(SCD)$.

d) Gọi $ J $ thuộc $ SC $ sao cho $ SJ = 2JC $, $ G $ là giao điểm của $ AI $ và $ BD $. Chứng minh $ GJ \parallel (SAD) $.

Lập luận:

1. Xác định $ J $:
   - $ J $ chia $ SC $ theo tỉ lệ $ 2:1 $.

2. Xác định $ G $:
   - $ G $ là giao điểm của $ AI $ và $ BD $.

3. Chứng minh $ GJ \parallel (SAD) $:
   - Xét các vectơ chỉ phương của $ GJ $ và mặt phẳng $(SAD)$.
   - Sử dụng tính chất đồng dạng và tỉ lệ để chứng minh $ GJ $ song song với một vectơ chỉ phương của $(SAD)$.

Với các bước lập luận trên, ta đã giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết và logic.