Xét một điểm M trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AC. a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì? b) Hỏi M ở vị trí nào thì đo...

1. Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán cùng với các bước logic và lý do cho những bước đó: Bài toán này thuộc loại bài toán về hình học trong không gian, cụ thể là về tam giác vuông và các tính chất liên quan. a) Để xác định tứ giác MPAN là hình gì, ta cần dựa vào các tính chất của tam giác vuông và hình chiếu. b) Để xác định M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất, ta cần dựa vào nguyên lý cực tiểu của hình học. 2. Giải quyết bài toán từng bước: a) Tứ giác MPAN: - Ta có: $MA \perp NP$ và $NA \perp MP$ nên $MPAN$ là hình bình hành. - Vì $AB = AC$ (tam giác ABC vuông cân tại A) nên $MP = NA$ và $PA = NM$. - Do đó, tứ giác $MPAN$ là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, tức là hình bình hành đó là hình vuông. b) Đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất khi nào: - Gọi $x = AM$, $a = AB = AC$, $y = NP$. - Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông $ABM$, ta có: $BM^2 = a^2 - x^2$. - Vì $BM = BN + NM$ nên $BN = BM - NM = \sqrt{a^2 - x^2} - x$. - Tương tự, $CP = CM - PM = \sqrt{a^2 - x^2} - x$. - Do đó, $y = NP = BN + CP = 2(\sqrt{a^2 - x^2} - x)$. - Đặt $f(x) = 2(\sqrt{a^2 - x^2} - x)$, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này. - Đạo hàm của $f(x)$ là $f'(x) = -2(\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} + 1)$. - $f'(x) = 0$ khi và chỉ khi $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$. - Khi $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$, $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất. - Vậy, M ở vị trí sao cho $AM = \frac{AB}{\sqrt{2}}$ thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.