CMR :1/2^3 +1/3^3+ 1/4^3 +..+ 1/2023^3 <1/4

Chúng ta cần giải bài toán sau: CMR : \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ... + \frac{1}{2023^3} < \frac{1}{4} Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về dãy số hình học và tính tổng của dãy số hình học. Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng các số trong dãy \frac{1}{2^3}, \frac{1}{3^3}, \frac{1}{4^3}, ... giảm dần. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng tính chất của dãy số hình học để tính tổng của chúng. Tổng của một dãy số hình học được tính bằng công thức: S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}, trong đó a là số hạng đầu tiên, r là tỷ lệ giữa hai số hạng liên tiếp, và n là số lượng số hạng trong dãy. Trong trường hợp này, a = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} và r = \frac{1}{2}. Chúng ta cần tính tổng của tất cả các số hạng từ a đến số hạng cuối cùng \frac{1}{2023^3}. Để tính được số lượng số hạng trong dãy, chúng ta cần tìm n. Ta có thể nhận thấy rằng số hạng cuối cùng là \frac{1}{2023^3}, vậy n = 2023. Áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học, ta có: S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{\frac{1}{8}(1-(\frac{1}{2})^{2023})}{1-\frac{1}{2}} Tiếp theo, chúng ta cần so sánh tổng S_n với giá trị \frac{1}{4} để xác định xem tổng có nhỏ hơn \frac{1}{4} hay không. Thực hiện tính toán, ta có: S_n = \frac{\frac{1}{8}(1-(\frac{1}{2})^{2023})}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}(1-\frac{1}{2^{2023}})}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} \times 2 \times (1-\frac{1}{2^{2023}}) = \frac{1}{4} \times (1-\frac{1}{2^{2023}}) Vậy, ta thấy rằng tổng S_n là \frac{1}{4} nhân với một số nhỏ hơn 1. Do đó, tổng S_n nhỏ hơn \frac{1}{4}. Vậy, chúng ta có kết luận rằng \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ... + \frac{1}{2023^3} < \frac{1}{4} là đúng.