cho 3 số tự nhiên a b c thỏa mãn (a-b)(b-c)(c-a) = a+b+c Chứng minh a+b+c chia hết cho 3

Giả sử rằng có 3 số tự nhiên a, b và c thỏa mãn điều kiện (a-b)(b-c)(c-a) = a+b+c. Chúng ta cần chứng minh rằng a+b+c chia hết cho 3. Đầu tiên, chúng ta sẽ mở ngoặc bên trái của phương trình: (a-b)(b-c)(c-a) = a+b+c (a-b)(b-c)(c-a) - (a+b+c) = 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các đơn thức trong ngoặc với nhau: (a^2 - ab - ac + bc)(c-a) - (a+b+c) = 0 Sau đó, chúng ta sẽ nhân các đơn thức trong ngoặc với nhau: (a^3 - a^2c - a^2b + abc - ac^2 + abc + ac^2 - bc^2 - a^2c + abc + ab^2 - b^2c) - (a+b+c) = 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ kết hợp các thành phần tương tự: a^3 - 2a^2c + 2abc - 2ac^2 - b^2c - a^2b + ab^2 - bc^2 - (a+b+c) = 0 Sau đó, chúng ta sẽ nhóm các thành phần theo từng số hạng: a^3 - (2a^2c + a^2b) + (2abc - b^2c) - (2ac^2 - bc^2) - (a+b+c) = 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn các số hạng: a^3 - a^2(2c + b) + bc(2a - b) - c^2(2a - b) - (a+b+c) = 0 Sau đó, chúng ta sẽ nhân các số hạng trong ngoặc với nhau: (a - b)(a^2 - (2c + b)a + bc) - c^2(2a - b) - (a+b+c) = 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các số hạng trong ngoặc với nhau: (a - b)(a - c)(a - b) - c^2(2a - b) - (a+b+c) = 0 Sau đó, chúng ta sẽ kết hợp các thành phần tương tự: (a - b)^2(a - c) - c^2(2a - b) - (a+b+c) = 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các số hạng trong ngoặc với nhau: (a - b)^2(a - c) - 2ac^2 + bc^2 - (a+b+c) = 0 Sau đó, chúng ta sẽ nhân các số hạng trong ngoặc với nhau: (a - b)^2(a - c) - 2ac^2 + bc^2 - a - b - c = 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các số hạng trong ngoặc với nhau: (a - b)^2(a - c) - 2ac^2 + bc^2 - a - b - c = 0 Cuối cùng, chúng ta có thể thấy rằng không có cách để biểu thức trên bằng 0 khi a, b và c là các số tự nhiên. Vì vậy, chúng ta kết luận rằng không có số tự nhiên a, b và c thỏa mãn điều kiện (a-b)(b-c)(c-a) = a+b+c.