Cho tam giác ABC vuông tại AB< AC đường cao AH và trung tuyến AM Gọi D,F lần lượt là chân các đường cao vuông góc kẻ từ E lên AB ,AC a) C/m ADEF là hcn b) BDFE là hbh c) DFEH là htc

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Bài toán này thuộc loại bài toán về tam giác vuông và các đặc tính của nó trong hình học phẳng. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông, đường cao và trung tuyến trong tam giác. Các bước logic để giải quyết vấn đề cùng với lý do cho những bước đó: a) Để chứng minh ADEF là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng góc ADE và góc AFE đều là góc vuông. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao. b) Để chứng minh BDFE là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai đối diện song song hoặc hai cạnh đối diện bằng nhau. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao. c) Để chứng minh DFEH là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh rằng DF song song với EH và DE bằng HE. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao. 2. Giải quyết vấn đề từng bước: a) Chứng minh ADEF là hình chữ nhật: - Ta có $\angle ADE = \angle BAC$ (do $DE \perp AC$ và $BA \perp AC$) và $\angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC$ (do tổng các góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$). Do đó, $\angle ADE = 90^{\circ} - \angle ABC$. - Tương tự, $\angle AFE = \angle ABC$ (do $FE \perp AB$ và $AC \perp AB$) và $\angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC$. Do đó, $\angle AFE = 90^{\circ} - \angle BAC$. - Vì $\angle ADE + \angle AFE = 90^{\circ} - \angle ABC + 90^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$, nên ADEF là hình chữ nhật. b) Chứng minh BDFE là hình bình hành: - Ta có $BD = AD$ (do $BD$ và $AD$ là hai đường cao của tam giác $ABC$) và $FE = AE$ (do $FE$ và $AE$ là hai đường cao của tam giác $ABC$). - Vì $BD = AD$ và $FE = AE$, nên $BD = FE$. - Do đó, BDFE là hình bình hành (do hai cạnh đối diện bằng nhau). c) Chứng minh DFEH là hình thang cân: - Ta có $DF \parallel EH$ (do $DF$ và $EH$ là hai đường cao của tam giác $ABC$). - Vì $DE = HE$ (do $DE$ và $HE$ là hai đường cao của tam giác $ABC$), nên DFEH là hình thang cân.