tìm bộ ba số nguyên tố xyz thỏa mãn (x+y)(xy+1)=2^z

Từ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{ l }
x+y=2^{a}\\
1+xy=2^{b}
\end{array}\left( a,b\in N^{*}\right)\right. $
Theo định lí Viete thì $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình:
\begin{equation*}
X^{2} -2^{a} \cdot X+2^{b} -1=0(*)
\end{equation*}
Để nghiệm của $(^{*})$ nguyên thì biệt thức $\Delta ^{\prime } =2^{2a-2} -2^{b} +1$ phải là 1 số chính phương.
Ta đặt: $2^{2a-2} -2^{k} +1=k^{2} (k\in N)(**)$
Nếu $2^{b}  >2^{2a-2}$.
Ta cũng có: $2^{2a} =(x+y)^{2} \geq 4xy=4\left( 2^{b} -1\right) \Rightarrow 2^{2a} +1\geq 2^{b}$
Như vậy thì $2^{2a-2} \leq 2^{h} \leq 2^{2a-2} +1$
Khi $2^{b} =2^{2,-2}$ thì $k=1$. Khi ấy $(^{*})$ có nghiệm $X=2^{b} \pm 1$.
Từ đó $(x,y)=\left( 2^{a-1} -1;2^{a-1} +1\right) ;\left( 2^{a-1} +1;2^{a-1} -1\right)$.
Thế vào phương trình ban đầu ta tìm được $z=3a-2$
Khi $2^{b} =2^{2a-2} +1$. Ta tìm được $(a,b)=(1,1)$.
Từ đó thu được bộ $(x,y,z)=(1,1,2)$
Nếu $2^{b} < 2^{2a-2}$ thì viết ($^{**})$ dưới dạng: $2^{b}\left( 2^{2a-b-2} -1\right) =(k-1)(k+1)$
Trường hợp $a=1$ hoặc $b=1$ đơn giản, cũng cho bộ $(x;y;z)=(1;1;2)$.
Ta chi xét $a,b >1$. Khi đó dễ thấy $k$ lẻ, từ đó theo $\operatorname{gcd} (k-1;k+1)=2$
Suy ra trong 2 số $k-1;k+1$ sẽ có 1 số chia hêt cho $2^{b-1}$.
Ta giả sử: $k=2^{b-1} m+c\ (c=\pm 1)$
Thay ngược vào $(^{**})$ :
$\displaystyle 2^{k}\left( 2^{2a-b-2} -1\right) =k^{2} -1=2^{2b-2} m^{2} +2^{b} mc\Rightarrow 2^{2a-b-2} -1=2^{b-2} m^{2} +mc$
Nhận thấy rằng: $(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow 2^{b} \geq 2^{a} \Rightarrow b\geq a$
Nếu $b >a$ thì $b-2 >2a-b-2$.
Ta sẽ tiếp tục lập luận:
$\displaystyle -mc-1=2^{b-2} m^{2} -2^{2a-b-2}\left( 2^{2b-2a} m^{2} -1\right) \geq m^{2} -1\Rightarrow m^{2} \pm m\leq 0$
Các giá trị tìm được của $m$ đều mâu thuẫn vì $m$ nguyên dương.
Ta có đáp số bài toán là: 
$(x;y;z)=\left( 2^{a} -1;1;2a\right) ;\left( 1;2^{a} -1;2a\right)$;
$\displaystyle \left( 2^{a} -1;2^{a} +1;3a-2\right) ;\left( 2^{a} +1;2^{a} -1;3a-2\right)$
Trong đó $a$ là số nguyên dương tùy ý.