Cho phương trình 2x-(m+3)x+m=0. Tìm giá trị nhỏ nhất M=$ \left(x_1-x_2\right)^2 $

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Đây là một bài toán về phương trình bậc hai và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai và công thức tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Các bước giải quyết bài toán: - Bước 1: Xác định nghiệm của phương trình bậc hai. - Bước 2: Thay nghiệm vào biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất. - Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 2. Giải quyết bài toán từng bước: - Bước 1: Xác định nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình đã cho có dạng $ax^2+bx+c=0$ với $a=2-m$, $b=-(m+3)$ và $c=m$. Nghiệm của phương trình bậc hai được xác định bởi công thức $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Vì vậy, nghiệm của phương trình là: $x_{1,2}=\frac{m+3\pm\sqrt{(m+3)^2-4(2-m)m}}{2(2-m)}$ - Bước 2: Thay nghiệm vào biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất. Biểu thức đã cho là $M=(x_1-x_2)^2$. Khi thay nghiệm vào, ta được: $M=\left(\frac{m+3+\sqrt{(m+3)^2-4(2-m)m}}{2(2-m)}-\frac{m+3-\sqrt{(m+3)^2-4(2-m)m}}{2(2-m)}\right)^2$ Đơn giản hóa biểu thức trên, ta được: $M=\left(\frac{2\sqrt{(m+3)^2-4(2-m)m}}{2(2-m)}\right)^2=\frac{(m+3)^2-4(2-m)m}{(2-m)^2}$ - Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta cần phải đạo hàm biểu thức và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị. Tuy nhiên, trong trường hợp này, biểu thức đã cho không phụ thuộc vào m nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0 khi $(m+3)^2-4(2-m)m=0$. Giải phương trình trên, ta được $m=-1$ hoặc $m=2$. Tuy nhiên, $m$ không thể bằng 2 vì nếu $m=2$ thì mẫu số của nghiệm sẽ bằng 0. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của $M$ là 0 khi $m=-1$.