Củng cố 7 và 8

Phương pháp: Tìm điều kiện của tham số để phương trình là phương trình mặt cầu:
Cho phương trình: $\displaystyle x^{2} +y^{2} +z^{2} -2ax-2by-2cz+d=0\ ( C)$
Để $\displaystyle ( C)$ là phương trình mặt cầu thì: $\displaystyle a^{2} +b^{2} +c^{2} -d >0$
Củng cố 7.
$\displaystyle ( S) :\ x^{2} +y^{2} +z^{2} -2( m-3) x-4mz+8=0$
a) Để $\displaystyle ( S)$ là mặt cầu thì: $\displaystyle ( m-3)^{2} +0^{2} +( 2m)^{2} -8=0$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow m^{2} -6m+9+4m^{2} -8 >0\\
\Leftrightarrow 5m^{2} -6m+1 >0\\
\Leftrightarrow 5m^{2} -5m-m+1 >0\\
\Leftrightarrow 5m( m-1) -( m-1)  >0\\
\Leftrightarrow ( m-1)( 5m-1)  >0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
m &  >1\\
m & < \frac{1}{5}
\end{array} \right.
\end{array}$
b) Với $\displaystyle m >1$ hoặc $\displaystyle m< \frac{1}{5}$ thì phương trình là phương trình mặt cầu
Bán kính là: $\displaystyle R=\sqrt{5m^{2} -6m+1}$
Diện tích mặt cầu là: $\displaystyle S=4\pi R^{2} =4\pi \left( 5m^{2} -6m+1\right)$
Để $\displaystyle S=4\pi \Rightarrow 4\pi \left( 5m^{2} -6m+1\right) =4\pi \Leftrightarrow 5m^{2} -6m+1=1$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow 5m^{2} -6m=0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
m & =0\\
m & =\frac{6}{5}
\end{array} \right.( tm)
\end{array}$
Củng cố 8.
a) Để $\displaystyle ( S)$ là mặt cầu thì: $\displaystyle R^{2} =m^{2} -2m+2 >0$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow m^{2} -2m+1+1 >0\\
\Leftrightarrow ( m-1)^{2} +1 >0
\end{array}$
Vì $\displaystyle ( m-1)^{2} \geqslant 0$ (mọi m) $\displaystyle \Rightarrow ( m-1)^{2} +1 >0$ (mọi m)
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình là phương trình mặt cầu
b) Để bán kính mặt cầu $\displaystyle ( S)$ lớn hơn $\displaystyle \sqrt{5}$ thì $\displaystyle R >\sqrt{5}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow R^{2}  >5\Rightarrow m^{2} -2m+2 >5\\
\Leftrightarrow m^{2} -2m-3 >0\\
\Leftrightarrow m^{2} -3m+m-3 >0\\
\Leftrightarrow ( m-3)( m+1)  >0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
m &  >3\\
m & < -1
\end{array} \right.
\end{array}$