Trong Oxyz. u = (1;6;c) là một véc tơ chỉ phương của đường thằng A đi qua điểm A(1;1;1)

9-1-2-1 sao cho khoảng cách từ B(2;0;1) đến 4 là lớn nhất. vuông góc với đường thẳằng A':=-1-2-1 T 2

Hỏi tổng b + c bằng bao nhiêu ?

Question

Trong Oxyz. u = (1;6;c) là một véc tơ chỉ phương của đường thằng A đi qua điểm A(1;1;1)

9-1-2-1 sao cho khoảng cách từ B(2;0;1) đến 4 là lớn nhất. vuông góc với đường thẳằng A':=-1-2-1 T 2

Hỏi tổng b + c bằng bao nhiêu ?

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình đường thẳng $ d $ đi qua điểm $ A(1, 1, 1) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{u} = (1, 6, c) $.

2. Tìm khoảng cách từ điểm $ B(2, 0, 1) $ đến đường thẳng $ d $.

3. Tìm giá trị của $ c $ để khoảng cách này lớn nhất.

4. Tính tổng $ b + c $.

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng $ d $
Phương trình tham số của đường thẳng $ d $ đi qua điểm $ A(1, 1, 1) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{u} = (1, 6, c) $ là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 1 + 6t \
z = 1 + ct
\end{cases}
$$

Bước 2: Tìm khoảng cách từ điểm $ B(2, 0, 1) $ đến đường thẳng $ d $
Khoảng cách từ điểm $ B(2, 0, 1) $ đến đường thẳng $ d $ được tính bằng công thức:
$$
d(B, d) = \frac{\| \vec{AB} \times \vec{u} \|}{\| \vec{u} \|}
$$
Trong đó:
- $ \vec{AB} = (2 - 1, 0 - 1, 1 - 1) = (1, -1, 0) $
- $ \vec{u} = (1, 6, c) $

Tính tích vector $ \vec{AB} \times \vec{u} $:
$$
\vec{AB} \times \vec{u} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -1 & 0 \
1 & 6 & c
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(-c) - \mathbf{j}(c) + \mathbf{k}(7)
= (-c, -c, 7)
$$

Tính độ dài của $ \vec{AB} \times \vec{u} $:
$$
\| \vec{AB} \times \vec{u} \| = \sqrt{(-c)^2 + (-c)^2 + 7^2} = \sqrt{2c^2 + 49}
$$

Tính độ dài của $ \vec{u} $:
$$
\| \vec{u} \| = \sqrt{1^2 + 6^2 + c^2} = \sqrt{1 + 36 + c^2} = \sqrt{37 + c^2}
$$

Khoảng cách từ điểm $ B $ đến đường thẳng $ d $ là:
$$
d(B, d) = \frac{\sqrt{2c^2 + 49}}{\sqrt{37 + c^2}}
$$

Bước 3: Tìm giá trị của $ c $ để khoảng cách này lớn nhất
Để khoảng cách lớn nhất, ta cần tối đa hóa biểu thức:
$$
f(c) = \frac{\sqrt{2c^2 + 49}}{\sqrt{37 + c^2}}
$$

Tính đạo hàm của $ f(c) $:
$$
f'(c) = \frac{(37 + c^2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4c}{\sqrt{2c^2 + 49}} - \sqrt{2c^2 + 49} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2c}{\sqrt{37 + c^2}}}{37 + c^2}
$$

Simplifying the derivative and setting it to zero to find critical points:
$$
f'(c) = 0 \Rightarrow \frac{2c(37 + c^2)}{\sqrt{2c^2 + 49} \cdot \sqrt{37 + c^2}} - \frac{c \sqrt{2c^2 + 49}}{\sqrt{37 + c^2}} = 0
$$

Solving this equation, we find that $ c = 0 $.

Bước 4: Tính tổng $ b + c $
The value of $ c $ is 0. Since $ b $ is not specified in the problem, we assume $ b = 0 $ for simplicity.

Thus, the sum $ b + c = 0 + 0 = 0 $.

Đáp số: $ b + c = 0 $.

Trong Oxyz. u = (1;6;c) là một véc tơ chỉ phương của đường thằng A đi qua điểm A(1;1;1) 9-1-2-1 sao cho khoảng cách từ B(2;0;1) đến 4 là lớn nhất. vuông góc với đường thẳằng A':=-1-2-1 T 2 Hỏi tổng b...