Hgbvvvvvvvvv

Câu 1. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(2;2;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2;-3)$ có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$. Thay vào ta có: \[ 5(x - 2) + 2(y - 2) - 3(z - 1) = 0 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 5x - 10 + 2y - 4 - 3z + 3 = 0 \] \[ 5x + 2y - 3z - 11 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 5x + 2y - 3z - 11 = 0 \] Đáp án đúng là: \[ C.~5x + 2y - 3z - 11 = 0 \] Câu 2. Để tính tích phân $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \sin(\pi - x) \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\sin(\pi - x)$. Ta biết rằng $\sin(\pi - x) = \sin x$. Do đó: \[ \int \sin(\pi - x) \, dx = \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 \sin(\pi - x) \, dx = \left[ -\cos x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 \] Bước 3: Tính giá trị tại các cận trên và cận dưới. \[ \left[ -\cos x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - (-\cos(0)) \] \[ = -\frac{1}{2} - (-1) \] \[ = -\frac{1}{2} + 1 \] \[ = \frac{1}{2} \] Vậy tích phân $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \sin(\pi - x) \, dx$ bằng $\frac{1}{2}$. Do đó, đáp án đúng là D. 0,5. Câu 3. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 2^x \): - \( a = 2 \) - \( \ln 2 \) là lôgarit tự nhiên của 2 Do đó, nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{2^x}{\ln 2} + C \] Câu 4. Để tìm xác suất $P(A|B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Ta đã biết: \[ P(B) = 0,6 \] \[ P(A \cap B) = 0,2 \] Thay các giá trị này vào công thức: \[ P(A|B) = \frac{0,2}{0,6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Vậy xác suất $P(A|B)$ là $\frac{1}{3}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{1}{3}$. Câu 5. Mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25$ có dạng chuẩn $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a,b,c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với dạng chuẩn, ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là $I(1,-2,3)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{25} = 5$. Do đó, tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là: \[ A.~I(1;-2;3);R=5. \] Đáp án đúng là: $A.~I(1;-2;3);R=5$. Câu 6. Để tính xác suất để An lấy được bút xanh và Bình lấy được bút đen, ta làm như sau: 1. Xác suất để An lấy được bút xanh: - Tổng số bút trong hộp ban đầu là 8 + 5 = 13 bút. - Số bút xanh là 8 bút. - Xác suất để An lấy được bút xanh là $\frac{8}{13}$. 2. Nếu An đã lấy được bút xanh, thì số bút còn lại trong hộp là 12 bút, trong đó có 7 bút xanh và 5 bút đen. - Xác suất để Bình lấy được bút đen từ 12 bút còn lại là $\frac{5}{12}$. 3. Xác suất để cả hai sự kiện xảy ra (An lấy được bút xanh và Bình lấy được bút đen) là tích của xác suất của hai sự kiện này: \[ P(\text{An lấy bút xanh và Bình lấy bút đen}) = \frac{8}{13} \times \frac{5}{12} = \frac{40}{156} = \frac{10}{39} \] Vậy xác suất để An lấy được bút xanh và Bình lấy được bút đen là $\frac{10}{39}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{10}{39}$. Câu 7. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3;-2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): -x + 2y - 2z + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-x + 2y - 2z + 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (-1, 2, -2)$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (-1, 2, -2)$. 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3, -2, 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-1, 2, -2)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = -2 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R} \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ C.\left\{\begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = -2 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R} \] Vậy đáp án đúng là: C. Câu 8. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) được viết dưới dạng: \[ \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 1}{-3} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số của các phân số tương ứng với các biến \(x\), \(y\), và \(z\) chính là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \vec{u} = (2, 2, -3) \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(2;2;-3) \]