Giúp mình với!

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \) và mối quan hệ với hàm số \( f(x) \). 1. Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số \( f(x) \): - Hàm số \( f(x) \) đồng biến (tăng) trên khoảng mà \( f'(x) > 0 \). - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến (giảm) trên khoảng mà \( f'(x) < 0 \). Từ đồ thị của \( f'(x) \), ta thấy: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((-1, 0)\) và \((2, 3)\). - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((0, 2)\). 2. Xác định các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \): - \( f'(x) = 0 \) tại các điểm \( x = -1, 0, 2, 3 \). - Tại \( x = 0 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. 3. Xét phương trình \( f(x) = f(3) \): - Tại \( x = 3 \), \( f'(x) = 0 \), nên \( x = 3 \) có thể là điểm cực trị hoặc điểm dừng. - Từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), \( f(x) \) tăng do \( f'(x) > 0 \). 4. Số nghiệm của phương trình \( f(x) = f(3) \): - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \), \( f(x) \) tăng, sau đó từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), \( f(x) \) giảm, và từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), \( f(x) \) tăng. - Do đó, \( f(x) = f(3) \) có thể có các nghiệm tại các khoảng này. 5. Kết luận: - Phương trình \( f(x) = f(3) \) có 3 nghiệm, tương ứng với các khoảng mà hàm số \( f(x) \) cắt đường thẳng \( y = f(3) \). Vậy, phương trình \( f(x) = f(3) \) có 3 nghiệm. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( M \) trên đoạn \( BC \) sao cho \( MC = 2MB \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm \( M \) Giả sử \( M(x, y, z) \) là điểm nằm trên đoạn \( BC \) sao cho \( MC = 2MB \). Theo điều kiện bài toán, ta có: \[ \frac{MC}{MB} = 2 \Rightarrow \frac{MC}{MC + MB} = \frac{2}{3} \] Điều này có nghĩa là \( M \) chia đoạn \( BC \) theo tỉ lệ \( \frac{2}{3} \) từ \( B \) đến \( C \). Sử dụng công thức chia đoạn thẳng trong không gian, tọa độ điểm \( M \) được xác định bởi: \[ M = \left( \frac{2x_C + 1x_B}{3}, \frac{2y_C + 1y_B}{3}, \frac{2z_C + 1z_B}{3} \right) \] Thay tọa độ của \( B(0, 3, 1) \) và \( C(-3, 6, 4) \) vào, ta có: \[ x_M = \frac{2(-3) + 1(0)}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \] \[ y_M = \frac{2(6) + 1(3)}{3} = \frac{15}{3} = 5 \] \[ z_M = \frac{2(4) + 1(1)}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( (-2, 5, 3) \). Bước 2: Tính độ dài đoạn \( AM \) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, ta có: \[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \( A(2, 0, 0) \) và \( M(-2, 5, 3) \) vào, ta có: \[ AM = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (5 - 0)^2 + (3 - 0)^2} \] \[ = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 3^2} \] \[ = \sqrt{16 + 25 + 9} \] \[ = \sqrt{50} \] \[ = \sqrt{25 \times 2} \] \[ = 5\sqrt{2} \] Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta có: \[ AM \approx 7.1 \] Vậy độ dài đoạn \( AM \) là \( 7.1 \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tính độ lớn của lực tổng hợp tác dụng vào vật khi có ba lực tác động. Hai lực đầu tiên có độ lớn bằng nhau và hợp với nhau một góc $60^\circ 50'$, và lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đầu. Bước 1: Tính độ lớn của lực tổng hợp của hai lực đầu tiên Hai lực đầu tiên có độ lớn bằng $4\sqrt{3} \, \text{N}$ và hợp với nhau một góc $60^\circ 50'$. Để tính độ lớn của lực tổng hợp của hai lực này, ta sử dụng công thức: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta} \] Với $F_1 = F_2 = 4\sqrt{3} \, \text{N}$ và $\theta = 60^\circ 50'$, ta có: \[ F_{12} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 + 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot \cos(60^\circ 50')} \] Tính toán từng phần: - $(4\sqrt{3})^2 = 48$ - $\cos(60^\circ 50') \approx \cos(60^\circ) = 0.5$ (vì $50'$ rất nhỏ, có thể xấp xỉ) Thay vào công thức: \[ F_{12} = \sqrt{48 + 48 + 2 \cdot 48 \cdot 0.5} \] \[ F_{12} = \sqrt{48 + 48 + 48} = \sqrt{144} = 12 \, \text{N} \] Bước 2: Tính độ lớn của lực tổng hợp của ba lực Lực thứ ba có độ lớn $5 \, \text{N}$ và vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đầu tiên. Do đó, lực tổng hợp của ba lực là: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] Với $F_{12} = 12 \, \text{N}$ và $F_3 = 5 \, \text{N}$, ta có: \[ F = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{N} \] Kết luận Độ lớn của lực tổng hợp tác dụng vào vật là $13 \, \text{N}$. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác. Cụ thể, nếu \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \) thì tọa độ của trọng tâm \( G \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Theo đề bài, ta có: - \( A(1, -3, 3) \) - \( B(2, -4, 5) \) - \( C(a, -2, b) \) - \( G(1, c, 6) \) Áp dụng công thức trọng tâm cho từng tọa độ, ta có: 1. Tọa độ \( x \): \[ \frac{1 + 2 + a}{3} = 1 \] Giải phương trình: \[ \frac{3 + a}{3} = 1 \implies 3 + a = 3 \implies a = 0 \] 2. Tọa độ \( y \): \[ \frac{-3 - 4 - 2}{3} = c \] Giải phương trình: \[ \frac{-9}{3} = c \implies c = -3 \] 3. Tọa độ \( z \): \[ \frac{3 + 5 + b}{3} = 6 \] Giải phương trình: \[ \frac{8 + b}{3} = 6 \implies 8 + b = 18 \implies b = 10 \] Vậy ta có \( a = 0 \), \( b = 10 \), \( c = -3 \). Tổng \( a + b + c = 0 + 10 - 3 = 7 \). Do đó, giá trị của tổng \( a + b + c \) bằng 7. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của doanh thu. Bước 1: Đặt biến và biểu diễn doanh thu - Gọi \( x \) là số lần giảm giá vé, mỗi lần giảm 2.000 đồng. - Giá vé mới là \( 40.000 - 2.000x \) đồng. - Số lượng khách tăng lên là \( 100x \) người. - Tổng số khách là \( 1.000 + 100x \). Doanh thu \( R \) là tích của giá vé và số lượng khách: \[ R = (40.000 - 2.000x)(1.000 + 100x) \] Bước 2: Khai triển biểu thức doanh thu \[ R = (40.000 - 2.000x)(1.000 + 100x) \] \[ R = 40.000 \cdot 1.000 + 40.000 \cdot 100x - 2.000x \cdot 1.000 - 2.000x \cdot 100x \] \[ R = 40.000.000 + 4.000.000x - 2.000.000x - 200.000x^2 \] \[ R = 40.000.000 + 2.000.000x - 200.000x^2 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của doanh thu Để tìm giá trị lớn nhất của \( R \), chúng ta sẽ tìm đạo hàm của \( R \) theo \( x \) và giải phương trình \( R' = 0 \). \[ R = 40.000.000 + 2.000.000x - 200.000x^2 \] \[ R' = 2.000.000 - 400.000x \] Giải phương trình \( R' = 0 \): \[ 2.000.000 - 400.000x = 0 \] \[ 400.000x = 2.000.000 \] \[ x = 5 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị lớn nhất Thay \( x = 5 \) vào biểu thức giá vé: \[ \text{Giá vé} = 40.000 - 2.000 \cdot 5 = 40.000 - 10.000 = 30.000 \text{ đồng} \] Vậy, để doanh thu thu được là tối đa, khu trò chơi nên bán vé với giá 30.000 đồng, tức là 3 chục nghìn đồng. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm \( M(a; b; c) \) sao cho các góc \( \angle AMB = \angle BMC = \angle CMA = 90^\circ \). Bước 1: Điều kiện góc vuông Điều kiện \( \angle AMB = 90^\circ \) có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{BM}\) bằng 0. Tương tự cho các góc còn lại. - Vectơ \(\overrightarrow{AM} = (a-3, b, c)\) - Vectơ \(\overrightarrow{BM} = (a, b-3, c)\) - Vectơ \(\overrightarrow{CM} = (a, b, c-3)\) Bước 2: Thiết lập phương trình 1. \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \): \[ (a-3)a + b(b-3) + c^2 = 0 \Rightarrow a^2 - 3a + b^2 - 3b + c^2 = 0 \] 2. \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \): \[ a^2 + (b-3)b + c(c-3) = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 - 3b + c^2 - 3c = 0 \] 3. \( \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \): \[ (a-3)a + b^2 + c(c-3) = 0 \Rightarrow a^2 - 3a + b^2 + c^2 - 3c = 0 \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ ba phương trình trên, ta có: - \( a^2 - 3a + b^2 - 3b + c^2 = 0 \) - \( a^2 + b^2 - 3b + c^2 - 3c = 0 \) - \( a^2 - 3a + b^2 + c^2 - 3c = 0 \) Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \[ -3a + 3c = 0 \Rightarrow a = c \] Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ ba: \[ 3b - 3a = 0 \Rightarrow b = a \] Từ đó, ta có \( a = b = c \). Bước 4: Tìm giá trị của \( a, b, c \) Thay \( a = b = c \) vào một trong các phương trình, chẳng hạn phương trình đầu tiên: \[ a^2 - 3a + a^2 - 3a + a^2 = 0 \Rightarrow 3a^2 - 6a = 0 \Rightarrow 3a(a - 2) = 0 \] Do \( M \) không trùng với \( O, A, B, C \), nên \( a \neq 0 \) và \( a \neq 3 \). Do đó, \( a = 2 \). Vậy \( a = b = c = 2 \). Kết luận Tổng \( a + b + c = 2 + 2 + 2 = 6 \). Vậy tổng \( a + b + c \) bằng 6.