giup minh vơi

Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến tam giác \(ABC\) trong không gian \(Oxyz\), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính chu vi tam giác \(ABC\) Để tính chu vi tam giác \(ABC\), ta cần tính độ dài các cạnh \(AB\), \(BC\), và \(CA\). - Độ dài cạnh \(AB\) được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 + 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \] - Độ dài cạnh \(BC\) được tính bằng công thức: \[ BC = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] - Độ dài cạnh \(CA\) được tính bằng công thức: \[ CA = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-1 + 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Chu vi tam giác \(ABC\) là: \[ AB + BC + CA = \sqrt{19} + \sqrt{29} + \sqrt{6} \approx 4.36 + 5.39 + 2.45 = 12.20 \] Kết quả này gần đúng với 12.19, có thể do làm tròn số. b) Kiểm tra trọng tâm \(G\) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Với \(A(1, -2, 3)\), \(B(-2, 1, 2)\), \(C(3, -1, 2)\), ta có: \[ G\left(\frac{1 - 2 + 3}{3}, \frac{-2 + 1 - 1}{3}, \frac{3 + 2 + 2}{3}\right) = G\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right) \] Điều này khớp với \(G\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)\), do đó, \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). c) Kiểm tra trung điểm \(M\) Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) được tính bằng công thức: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Với \(A(1, -2, 3)\) và \(B(-2, 1, 2)\), ta có: \[ M\left(\frac{1 - 2}{2}, \frac{-2 + 1}{2}, \frac{3 + 2}{2}\right) = M\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \] Điều này không khớp với \(M\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\), do đó, \(M\) không phải là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). d) Kiểm tra vector \(\overrightarrow{AB}\) Vector \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-2 - 1, 1 + 2, 2 - 3) = (-3, 3, -1) \] Điều này khớp với \(\overrightarrow{AB} = (-3, 3, -1)\). Kết luận - a) Chu vi tam giác \(ABC\) là xấp xỉ 12.19 đơn vị độ dài. - b) \(G\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). - c) \(M\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) không phải là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). - d) \(\overrightarrow{AB} = (-3, 3, -1)\) là đúng. Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên dữ liệu đã cho. Khẳng định a: "Dựa trên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chiều cao của các học sinh nam ổn định hơn chiều cao của các học sinh nữ." Độ lệch chuẩn đo lường mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Một độ lệch chuẩn nhỏ hơn cho thấy dữ liệu tập trung hơn quanh giá trị trung bình, tức là ổn định hơn. - Học sinh nữ: Số lượng học sinh phân bố chủ yếu ở các khoảng thấp hơn ([150;155), [155;160)), cho thấy sự phân tán ít hơn so với học sinh nam. - Học sinh nam: Số lượng học sinh phân bố nhiều hơn ở các khoảng cao hơn ([160;165), [165;170)), cho thấy sự phân tán lớn hơn. Do đó, độ lệch chuẩn của chiều cao học sinh nam lớn hơn, nghĩa là chiều cao của các học sinh nam không ổn định hơn chiều cao của các học sinh nữ. Vậy khẳng định a sai. Khẳng định b: "Trung bình học sinh nam cao hơn học sinh nữ." Để tính trung bình, chúng ta cần biết tổng chiều cao của tất cả học sinh nam và nữ. - Học sinh nữ: - [150;155): 43 học sinh, giả sử trung bình là 152.5 cm. - [155;160): 31 học sinh, giả sử trung bình là 157.5 cm. - [160;165): 22 học sinh, giả sử trung bình là 162.5 cm. - [165;170): 3 học sinh, giả sử trung bình là 167.5 cm. - [170;175): 1 học sinh, giả sử trung bình là 172.5 cm. Tổng chiều cao của học sinh nữ: \[ 43 \times 152.5 + 31 \times 157.5 + 22 \times 162.5 + 3 \times 167.5 + 1 \times 172.5 = 10937.5 \text{ cm} \] Số lượng học sinh nữ: 100 Trung bình chiều cao của học sinh nữ: \[ \frac{10937.5}{100} = 109.375 \text{ cm} \] - Học sinh nam: - [150;155): 4 học sinh, giả sử trung bình là 152.5 cm. - [155;160): 6 học sinh, giả sử trung bình là 157.5 cm. - [160;165): 21 học sinh, giả sử trung bình là 162.5 cm. - [165;170): 46 học sinh, giả sử trung bình là 167.5 cm. - [170;175): 23 học sinh, giả sử trung bình là 172.5 cm. Tổng chiều cao của học sinh nam: \[ 4 \times 152.5 + 6 \times 157.5 + 21 \times 162.5 + 46 \times 167.5 + 23 \times 172.5 = 13437.5 \text{ cm} \] Số lượng học sinh nam: 100 Trung bình chiều cao của học sinh nam: \[ \frac{13437.5}{100} = 134.375 \text{ cm} \] Do đó, trung bình chiều cao của học sinh nam cao hơn học sinh nữ. Vậy khẳng định b đúng. Khẳng định c: "Tử phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh nam nằm trong khoảng [165;170)." Phân vị thứ ba (Q3) là giá trị sao cho 75% dữ liệu nằm dưới nó. - Học sinh nam: - [150;155): 4 học sinh - [155;160): 6 học sinh - [160;165): 21 học sinh - [165;170): 46 học sinh - [170;175): 23 học sinh Tổng số học sinh nam: 100 Phân vị thứ ba nằm ở vị trí: \[ 0.75 \times 100 = 75 \] Số học sinh trong các khoảng đầu tiên: \[ 4 + 6 + 21 = 31 \] Số học sinh còn lại đến Q3: \[ 75 - 31 = 44 \] Do đó, Q3 nằm trong khoảng [165;170). Vậy khẳng định c đúng. Khẳng định d: "Có thể sử dụng khoảng biến thiên để biết chiều cao của học sinh nam hay nữ đồng đều hơn." Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. - Học sinh nữ: - Khoảng biến thiên: 175 - 150 = 25 cm - Học sinh nam: - Khoảng biến thiên: 175 - 150 = 25 cm Do khoảng biến thiên của cả hai nhóm bằng nhau, nên không thể sử dụng khoảng biến thiên để biết chiều cao của học sinh nam hay nữ đồng đều hơn. Vậy khẳng định d sai. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 1: Để tính độ lệch chuẩn của điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị đại diện cho mỗi khoảng điểm: - Khoảng (5;6): Giá trị đại diện là 5,5 - Khoảng (6;7): Giá trị đại diện là 6,5 - Khoảng (7;8): Giá trị đại diện là 7,5 - Khoảng (8;9): Giá trị đại diện là 8,5 - Khoảng (9;10): Giá trị đại diện là 9,5 2. Tính tổng số học sinh: \[ n = 1 + 2 + 11 + 20 + 6 = 40 \] 3. Tính trung bình cộng (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{(5,5 \times 1) + (6,5 \times 2) + (7,5 \times 11) + (8,5 \times 20) + (9,5 \times 6)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{5,5 + 13 + 82,5 + 170 + 57}{40} = \frac{328}{40} = 8,2 \] 4. Tính phương sai (\(s^2\)): \[ s^2 = \frac{(5,5 - 8,2)^2 \times 1 + (6,5 - 8,2)^2 \times 2 + (7,5 - 8,2)^2 \times 11 + (8,5 - 8,2)^2 \times 20 + (9,5 - 8,2)^2 \times 6}{40} \] \[ s^2 = \frac{(-2,7)^2 \times 1 + (-1,7)^2 \times 2 + (-0,7)^2 \times 11 + (0,3)^2 \times 20 + (1,3)^2 \times 6}{40} \] \[ s^2 = \frac{7,29 \times 1 + 2,89 \times 2 + 0,49 \times 11 + 0,09 \times 20 + 1,69 \times 6}{40} \] \[ s^2 = \frac{7,29 + 5,78 + 5,39 + 1,8 + 10,14}{40} = \frac{30,4}{40} = 0,76 \] 5. Tính độ lệch chuẩn (\(s\)): \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,76} \approx 0,9 \] Vậy độ lệch chuẩn của điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A là 0,9. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( K(x; y; z) \) sao cho \( B \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ACK \). Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \triangle ACK \) Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ được tính bằng trung bình cộng của các tọa độ của các đỉnh. Do đó, tọa độ của \( G \) là: \[ G\left(\frac{0 + 4 + x}{3}, \frac{-1 + (-2) + y}{3}, \frac{1 + 3 + z}{3}\right) \] Bước 2: Đặt \( B \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ACK \) Theo đề bài, \( B(2; -3; 2) \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ACK \), do đó: \[ \frac{0 + 4 + x}{3} = 2, \quad \frac{-1 + (-2) + y}{3} = -3, \quad \frac{1 + 3 + z}{3} = 2 \] Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ \( K(x; y; z) \) Giải từng phương trình: 1. \(\frac{4 + x}{3} = 2 \Rightarrow 4 + x = 6 \Rightarrow x = 2\) 2. \(\frac{-3 + y}{3} = -3 \Rightarrow -3 + y = -9 \Rightarrow y = -6\) 3. \(\frac{4 + z}{3} = 2 \Rightarrow 4 + z = 6 \Rightarrow z = 2\) Vậy tọa độ của điểm \( K \) là \( K(2; -6; 2) \). Bước 4: Tính độ dài \( BK \) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ BK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-6 + 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{0 + (-3)^2 + 0} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy độ dài \( BK \) là 3. Câu 3: Để tìm thời điểm tại đó vận tốc v của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t=3$ giây, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm biểu thức vận tốc: Vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của quãng đường $s(t)$ theo thời gian $t$. \[ s(t) = 6t^2 - t^3 \] Đạo hàm $s(t)$ theo $t$: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 12t - 3t^2 \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=3$: Để tìm giá trị lớn nhất của $v(t)$ trong khoảng này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của $v(t)$ bằng cách giải phương trình $v'(t) = 0$. Đạo hàm $v(t)$ theo $t$: \[ v'(t) = 12 - 6t \] Giải phương trình $v'(t) = 0$: \[ 12 - 6t = 0 \implies t = 2 \] 3. Kiểm tra giá trị của vận tốc tại các điểm $t=0$, $t=2$ và $t=3$: - Tại $t=0$: \[ v(0) = 12 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 = 0 \] - Tại $t=2$: \[ v(2) = 12 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2 = 24 - 12 = 12 \] - Tại $t=3$: \[ v(3) = 12 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = 36 - 27 = 9 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - $v(0) = 0$ - $v(2) = 12$ - $v(3) = 9$ Giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=3$ là 12, đạt được tại thời điểm $t=2$. Kết luận: Giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t=3$ giây là 12, đạt được tại thời điểm $t=2$. Câu 4: Để tìm điểm \( M(a; b; c) \) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \( ABCM \), ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trước tiên, ta tìm vector \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 1; 3 - 2; 3 + 1) = (-3; 1; 4) \] \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1; -1 - 2; 2 + 1) = (2; -3; 3) \] Điểm \( M \) là đỉnh thứ tư của hình bình hành, do đó vector \(\overrightarrow{AM}\) phải bằng vector \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 3; 3 + 1; 3 - 2) = (-5; 4; 1) \] Vì \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC}\), ta có: \[ M = A + \overrightarrow{BC} = (1; 2; -1) + (-5; 4; 1) = (1 - 5; 2 + 4; -1 + 1) = (-4; 6; 0) \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \((-4; 6; 0)\). Bây giờ, ta tính giá trị của \( P = a^2 + b^2 - c^2 \) với \( a = -4 \), \( b = 6 \), \( c = 0 \): \[ P = (-4)^2 + 6^2 - 0^2 = 16 + 36 - 0 = 52 \] Do đó, giá trị của \( P \) là 52.