giải giúpp tự luận

Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \) trên đoạn \([0; 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số Hàm số \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \) có mẫu số \( x - 3 \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ x - 3 \neq 0 \] \[ x \neq 3 \] Trên đoạn \([0; 2]\), \( x \) không bao giờ bằng 3, do đó hàm số xác định trên toàn bộ đoạn này. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, chúng ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(3)(x - 3) - (3x - 1)(1)}{(x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-8}{(x - 3)^2} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm Đạo hàm \( f'(x) = \frac{-8}{(x - 3)^2} \) luôn âm trên đoạn \([0; 2]\) vì \( (x - 3)^2 > 0 \) và \(-8\) là số âm. Do đó, hàm số \( f(x) \) giảm trên đoạn \([0; 2]\). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn Ta tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \): \[ f(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ f(2) = \frac{3(2) - 1}{2 - 3} = \frac{6 - 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \] Bước 5: Kết luận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Vì hàm số giảm trên đoạn \([0; 2]\), giá trị lớn nhất (M) của hàm số trên đoạn này là giá trị tại \( x = 0 \), và giá trị nhỏ nhất (m) là giá trị tại \( x = 2 \). \[ M = f(0) = \frac{1}{3} \] \[ m = f(2) = -5 \] Đáp án cuối cùng: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) là \( \frac{1}{3} \), đạt được khi \( x = 0 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) là \(-5\), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng căn hộ cho thuê và giá cho thuê sao cho doanh thu của công ty là cao nhất. Gọi \( x \) là số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100 000 đồng mỗi tháng. - Ban đầu, công ty cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng mỗi tháng và tất cả 150 căn hộ đều có người thuê. - Mỗi lần tăng giá thêm 100 000 đồng, sẽ có thêm 5 căn hộ bị bỏ trống. Do đó, số lượng căn hộ cho thuê sau \( x \) lần tăng giá là: \[ 150 - 5x \] Giá cho thuê mỗi căn hộ sau \( x \) lần tăng giá là: \[ 2\,000\,000 + 100\,000x \] Doanh thu \( R \) của công ty là tích của số lượng căn hộ cho thuê và giá cho thuê mỗi căn hộ: \[ R = (150 - 5x)(2\,000\,000 + 100\,000x) \] Phát triển biểu thức trên: \[ R = (150 - 5x)(2\,000\,000 + 100\,000x) \] \[ R = 150 \cdot 2\,000\,000 + 150 \cdot 100\,000x - 5x \cdot 2\,000\,000 - 5x \cdot 100\,000x \] \[ R = 300\,000\,000 + 15\,000\,000x - 10\,000\,000x - 500\,000x^2 \] \[ R = 300\,000\,000 + 5\,000\,000x - 500\,000x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của doanh thu \( R \), chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cực đại hóa \( R \). Ta lấy đạo hàm của \( R \) theo \( x \) và đặt bằng 0: \[ R' = 5\,000\,000 - 1\,000\,000x \] \[ 5\,000\,000 - 1\,000\,000x = 0 \] \[ 1\,000\,000x = 5\,000\,000 \] \[ x = 5 \] Vậy, để doanh thu cao nhất, công ty nên tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 5 lần, tức là: \[ 2\,000\,000 + 100\,000 \times 5 = 2\,500\,000 \text{ đồng} \] Số lượng căn hộ cho thuê lúc này là: \[ 150 - 5 \times 5 = 125 \text{ căn hộ} \] Vậy, để có doanh thu cao nhất, công ty đó cho thuê 125 căn hộ trong một tháng. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của điểm N(a; b; c) và sau đó tính tổng $a + b + c$. Bước 1: Tính vận tốc của máy bay Máy bay di chuyển từ điểm M(1000; 600; 14) đến điểm Q(1400; 800; 18) trong 40 phút (30 phút từ M đến N và 10 phút từ N đến Q). Do đó, ta có thể tính vận tốc của máy bay theo từng trục tọa độ. - Vận tốc theo trục x: \[ v_x = \frac{1400 - 1000}{40} = \frac{400}{40} = 10 \text{ km/phút} \] - Vận tốc theo trục y: \[ v_y = \frac{800 - 600}{40} = \frac{200}{40} = 5 \text{ km/phút} \] - Vận tốc theo trục z: \[ v_z = \frac{18 - 14}{40} = \frac{4}{40} = 0.1 \text{ km/phút} \] Bước 2: Tính tọa độ điểm N(a; b; c) Máy bay di chuyển từ M đến N trong 30 phút, do đó tọa độ của điểm N có thể được tính như sau: - Tọa độ x của N: \[ a = 1000 + 30 \times 10 = 1000 + 300 = 1300 \] - Tọa độ y của N: \[ b = 600 + 30 \times 5 = 600 + 150 = 750 \] - Tọa độ z của N: \[ c = 14 + 30 \times 0.1 = 14 + 3 = 17 \] Bước 3: Tính tổng $a + b + c$ Tổng $a + b + c$ là: \[ a + b + c = 1300 + 750 + 17 = 2067 \] Vậy, tổng $a + b + c$ là 2067.