giải giúp em

Câu 7. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = 2 + 2x - e^2 \) trên đoạn \([0; 2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 + 2x - e^2) = 2 \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ f'(x) = 2 > 0 \] Đạo hàm dương trên toàn bộ khoảng \((-\infty, +\infty)\), do đó hàm số \( f(x) \) là hàm số đồng biến trên đoạn \([0; 2]\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 2 + 2 \cdot 0 - e^2 = 2 - e^2 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2 + 2 \cdot 2 - e^2 = 2 + 4 - e^2 = 6 - e^2 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(0) = 2 - e^2 \] \[ f(2) = 6 - e^2 \] Trong hai giá trị này, giá trị lớn nhất là: \[ 6 - e^2 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = 2 + 2x - e^2 \) trên đoạn \([0; 2]\) là \( 6 - e^2 \). Đáp án đúng là: B. \( 6 - e^2 \). Câu 8. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số như sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $x$ tiến đến giá trị nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x$ tiến đến $-1$, hàm số tiến đến $-\infty$. Do đó, $x = -1$ là tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $x$ tiến đến dương vô cực hoặc âm vô cực. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x$ tiến đến $+\infty$, hàm số tiến đến $2$. Do đó, $y = 2$ là tiệm cận ngang. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: - Số tiệm cận đứng: 1 (tiệm cận đứng tại $x = -1$) - Số tiệm cận ngang: 1 (tiệm cận ngang tại $y = 2$) Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1 + 1 = 2$. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 9. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-x+2}{x+1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: \[ \begin{array}{r|rr} & x - 2 \\ \hline x + 1 & x^2 - x + 2 \\ & -(x^2 + x) \\ \hline & -2x + 2 \\ & -(-2x - 2) \\ \hline & 4 \\ \end{array} \] Từ đó ta có: \[ y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} = x - 2 + \frac{4}{x + 1} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm \infty$), phần $\frac{4}{x + 1}$ sẽ tiến đến 0. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = x - 2$. Do đó, đáp án đúng là: A. $y = x - 2$. Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ để tìm số nghiệm của phương trình $3f(x) + 1 = 0$. Bước 1: Xác định giá trị của $f(x)$ khi $3f(x) + 1 = 0$: \[ 3f(x) + 1 = 0 \\ 3f(x) = -1 \\ f(x) = -\frac{1}{3} \] Bước 2: Xem xét trên bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ để tìm các giá trị của $x$ sao cho $f(x) = -\frac{1}{3}$. Trên bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số $y = f(x)$ cắt đường thẳng $y = -\frac{1}{3}$ tại ba điểm khác nhau. Điều này có nghĩa là phương trình $f(x) = -\frac{1}{3}$ có ba nghiệm. Do đó, phương trình $3f(x) + 1 = 0$ có 3 nghiệm. Đáp án đúng là: D. 3. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số $y = f(x)$. Bảng xét dấu đạo hàm cho thấy: - Trên khoảng $(-\infty; 0)$, đạo hàm $f'(x) < 0$, do đó hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(0; 2)$, đạo hàm $f'(x) > 0$, do đó hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(2; +\infty)$, đạo hàm $f'(x) < 0$, do đó hàm số nghịch biến. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. - Đúng, vì trên khoảng $(0; 2)$, đạo hàm $f'(x) > 0$. b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 2)$. - Đúng, vì $(1; 2)$ nằm trong khoảng $(0; 2)$, nơi đạo hàm $f'(x) > 0$. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. - Sai, vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, còn trên khoảng $(0; 2)$ thì đồng biến. d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. - Đúng, vì trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, đạo hàm $f'(x) < 0$. Tóm lại, các lựa chọn đúng là: - a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. - b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 2)$. - d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi về tính chất nghịch biến của hàm số $y = \frac{x^2}{3} - 2x^2 + 3x - 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{x^2}{3} - 2x^2 + 3x - 1 \] Tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left( \frac{x^2}{3} \right)' - (2x^2)' + (3x)' - (1)' \] \[ y' = \frac{2x}{3} - 4x + 3 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm Để xác định hàm số nghịch biến trên khoảng nào, chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, sau đó kiểm tra dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các điểm này. Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ \frac{2x}{3} - 4x + 3 = 0 \] \[ \frac{2x - 12x + 9}{3} = 0 \] \[ 2x - 12x + 9 = 0 \] \[ -10x + 9 = 0 \] \[ x = \frac{9}{10} \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm trong các khoảng Chúng ta sẽ kiểm tra dấu của đạo hàm trong các khoảng: $(-\infty, \frac{9}{10})$ và $(\frac{9}{10}, +\infty)$. - Chọn $x = 0$ trong khoảng $(-\infty, \frac{9}{10})$: \[ y'(0) = \frac{2 \cdot 0}{3} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \] Do đó, đạo hàm dương trong khoảng $(-\infty, \frac{9}{10})$, hàm số đồng biến. - Chọn $x = 1$ trong khoảng $(\frac{9}{10}, +\infty)$: \[ y'(1) = \frac{2 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 3 = \frac{2}{3} - 4 + 3 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3} < 0 \] Do đó, đạo hàm âm trong khoảng $(\frac{9}{10}, +\infty)$, hàm số nghịch biến. Kết luận - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{9}{10}, +\infty)$. - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, \frac{9}{10})$. Do đó, cả hai phát biểu đều sai vì: - Phát biểu a) nói hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$, nhưng thực tế hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{9}{10}, +\infty)$. - Phát biểu b) nói hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;1)$, nhưng thực tế hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, \frac{9}{10})$.