Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA; MB tới đường tròn (O) với A; B là các tiếp điểm. a, Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn b, Kẻ...

Hoàng Nguyễn

a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn:

Ta có tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O). Vì MA và MB là tiếp tuyến nên góc MAB và MBA là góc vuông. Do đó, tam giác MAB và tam giác MBA là tam giác vuông. Vì O là tâm đường tròn nên OA và OB là đường phân giác của góc MAB và góc MBA tương ứng. Từ đó, ta có OA vuông góc với AB và OB vuông góc với AB. Vậy tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

b) Chứng minh OM // CB:

Vì tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp trong đường tròn nên góc AOB = góc AMB (góc ở tâm đều bằng góc ở ngoại tiếp). Ta cũng có góc AMB = góc CBA (do MA và MB là tiếp tuyến). Từ đó, ta có góc AOB = góc CBA. Vì OA và OB là đường phân giác của góc AOB nên OA // CB và OB // CA. Khi đó, theo định lý hai góc đồng quy, ta có OM // CB.

c) Chứng minh {"userId":ck.om/,"userName":"CK.OM"} = OB.CB:

Vì tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp trong đường tròn nên góc AOB = góc AMB. Ta cũng có góc AMB = góc CBA (do MA và MB là tiếp tuyến). Từ đó, ta có góc AOB = góc CBA. Vì OA và OB là đường phân giác của góc AOB nên OA // CB và OB // CA. Khi đó, theo định lý hai đường phân giác, ta có CK/CA = OK/OA và OB/CB = OK/OA. Từ đó, ta có CK/CA = OB/CB. Nhân hai vế của phương trình này với CA.CB, ta có CK.CB = {"userId":ob.ca/,"userName":"OB.CA"}. Vì CK.CB = {"userId":ck.om/,"userName":"CK.OM"} + CK.MB = {"userId":ck.om/,"userName":"CK.OM"} + OB.CB, nên ta có {"userId":ck.om/,"userName":"CK.OM"} + OB.CB = {"userId":ob.ca/,"userName":"OB.CA"}. Từ đó, ta có {"userId":ck.om/,"userName":"CK.OM"} = OB.CB.

d) Chứng minh OD vuông góc với CM:

Vì tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp trong đường tròn nên góc AOB = góc AMB. Ta cũng có góc AMB = góc CBA (do MA và MB là tiếp tuyến). Từ đó, ta có góc AOB = góc CBA. Vì OA và OB là đường phân giác của góc AOB nên OA // CB và OB // CA. Khi đó, theo định lý hai góc đồng quy, ta có OM // CB. Vì OM // CB và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo định lý hai góc đồng quy, ta có góc OMC = góc OCB. Từ đó, ta có góc OMC = góc CBA. Vì OC và OD là đường phân giác của góc OCB nên OC vuông góc với OD.