Giúp mình với! Câu 26 [829448]: Cho phương trình $x^2-2(m-3)x-6m-7=0$ với m là tham số có hai,nghiệm $x_1,x_2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(x_1+x_2)^2+8x_1x_2.$

Question

Accepted Answer

Câu 26
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = (x_1 + x_2)^2 + 8x_1x_2 $, ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình đã cho là:
$$ x^2 - 2(m-3)x - 6m - 7 = 0 $$

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = 2(m-3) $$
$$ x_1 x_2 = -6m - 7 $$

Biểu thức $ A $ được viết lại thành:
$$ A = (x_1 + x_2)^2 + 8x_1 x_2 $$

Thay các giá trị theo định lý Vi-et vào biểu thức $ A $:
$$ A = [2(m-3)]^2 + 8(-6m - 7) $$
$$ A = 4(m-3)^2 + 8(-6m - 7) $$
$$ A = 4(m^2 - 6m + 9) - 48m - 56 $$
$$ A = 4m^2 - 24m + 36 - 48m - 56 $$
$$ A = 4m^2 - 72m - 20 $$

Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = 4m^2 - 72m - 20 $. Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này.

Ta có:
$$ A = 4(m^2 - 18m) - 20 $$

Hoàn chỉnh bình phương:
$$ m^2 - 18m = (m - 9)^2 - 81 $$

Do đó:
$$ A = 4[(m - 9)^2 - 81] - 20 $$
$$ A = 4(m - 9)^2 - 324 - 20 $$
$$ A = 4(m - 9)^2 - 344 $$

Giá trị nhỏ nhất của $ (m - 9)^2 $ là 0 (khi $ m = 9 $). Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là:
$$ A_{min} = 4(0) - 344 = -344 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là $-344$, đạt được khi $ m = 9 $.