Giúp mình với!Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 29: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và các công thức liên quan đến đường kính và bán kính của đường tròn. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với đường kính AD = 4 cm. - AB = BC = 1 cm. Bước 2: Xác định bán kính của đường tròn: - Vì AD là đường kính, nên bán kính R của đường tròn là $\frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ cm. Bước 3: Xác định vị trí của các điểm trên đường tròn: - Điểm A và D nằm ở hai đầu của đường kính, do đó OA = OD = 2 cm. - Điểm B và C nằm trên đường tròn, do đó OB = OC = 2 cm. Bước 4: Xác định các đoạn thẳng: - Vì AB = BC = 1 cm, ta có thể vẽ các đoạn thẳng này trên đường tròn. Bước 5: Xác định đoạn thẳng CD: - Ta thấy rằng đoạn thẳng CD cũng nằm trên đường tròn và có thể tính toán dựa vào các thông tin đã biết. Bước 6: Áp dụng tính chất của tứ giác nội tiếp: - Trong tứ giác nội tiếp, tổng các góc đối bằng 180°. Do đó, góc ABD + góc ACD = 180°. Bước 7: Xác định đoạn thẳng CD: - Vì AB = BC = 1 cm và AD là đường kính, ta có thể suy ra rằng CD cũng sẽ bằng 1 cm do tính chất đối xứng của tứ giác nội tiếp. Vậy CD = 1 cm. Đáp án đúng là: A. 1 cm. Câu 30: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các đại lượng: - Chiều rộng của sông là 300m. - Quãng đường đò đi thực tế là 420m. 2. Xác định góc lệch: - Ta coi chiều rộng của sông là cạnh kề với góc lệch. - Quãng đường đò đi thực tế là cạnh huyền của tam giác vuông. 3. Tính tỉ số lượng giác: - Ta sử dụng công thức cosin để tính góc lệch: \[ \cos(\theta) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{300}{420} = \frac{5}{7} \] 4. Tìm góc lệch: - Sử dụng máy tính để tìm góc có cosin bằng $\frac{5}{7}$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) \] - Kết quả là khoảng $44^\circ 24'$. Vậy dòng nước đã làm chiếc đò lệch đi một góc là $44^\circ 24'$. Đáp án đúng là: \[ C.~44^\circ 24' \] Câu 31: Đường thẳng $(d):~3x-4y-12=0$ viết dưới dạng $y=\frac{3}{4}x-3$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $(d)$ đi qua gốc tọa độ là $y=-\frac{4}{3}x$. Gọi giao điểm của đường thẳng $(d)$ và đường thẳng vuông góc với $(d)$ là $H(x_H,y_H)$. Thay $y_H=-\frac{4}{3}x_H$ vào phương trình $(d)$ ta có: $3x_H-4(-\frac{4}{3}x_H)-12=0$. Giải ra ta được $x_H=\frac{36}{25}$, $y_H=-\frac{48}{25}$. Vậy tọa độ điểm $H(\frac{36}{25};-\frac{48}{25})$. Độ dài đoạn thẳng $OH=\sqrt{(\frac{36}{25})^2+(-\frac{48}{25})^2}=\frac{60}{25}=2,4$. Vì đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với đường tròn $(O;m_1)$ nên $m_1=2,4$. Vì đường thẳng $(d)$ cắt đường tròn $(O;m_2)$ tại 2 điểm $A$ và $B$ có độ dài 6,4 nên $AB=6,4$. Ta có $OA=OB=m_2$, $OH=2,4$. Vẽ đường kính $CD$ của đường tròn $(O;m_2)$ sao cho $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Ta có $AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{6,4}{2}=3,2$. Xét tam giác vuông $OAH$, theo định lý Pythagoras ta có: $OA^2=OH^2+AH^2$. Vậy $m_2^2=2,4^2+3,2^2$. Giải ra ta được $m_2=4$. Vậy $m_2-m_1=4-2,4=1,6$. Đáp án đúng là: D. Câu 32: Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l} ax + 2by = 3 \\ 2ax - 3b = 1 \end{array} \right. \] có nghiệm \((3, -2)\), ta thay \(x = 3\) và \(y = -2\) vào hệ phương trình. Thay vào phương trình đầu tiên: \[ a(3) + 2b(-2) = 3 \] \[ 3a - 4b = 3 \quad \text{(1)} \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2a(3) - 3b = 1 \] \[ 6a - 3b = 1 \quad \text{(2)} \] Bây giờ ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3a - 4b = 3 \\ 6a - 3b = 1 \end{array} \right. \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng trừ. Nhân phương trình (1) với 2: \[ 6a - 8b = 6 \quad \text{(3)} \] Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2): \[ (6a - 8b) - (6a - 3b) = 6 - 1 \] \[ -5b = 5 \] \[ b = -1 \] Thay \(b = -1\) vào phương trình (1): \[ 3a - 4(-1) = 3 \] \[ 3a + 4 = 3 \] \[ 3a = -1 \] \[ a = -\frac{1}{3} \] Vậy giá trị của \(a\) và \(b\) là \(a = -\frac{1}{3}\) và \(b = -1\). Đáp án đúng là: \(D.~a = -\frac{1}{3}; b = -1\). Câu 33: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{4x + y}{xy} + \frac{2x - y}{4} \) với điều kiện \( x + y = 5 \) và \( x, y > 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( y = 5 - x \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{4x + (5 - x)}{x(5 - x)} + \frac{2x - (5 - x)}{4} \] \[ P = \frac{3x + 5}{x(5 - x)} + \frac{3x - 5}{4} \] 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \). 3. Biến đổi biểu thức \( P \): \[ P = \frac{3x + 5}{x(5 - x)} + \frac{3x - 5}{4} \] \[ P = \frac{3x + 5}{5x - x^2} + \frac{3x - 5}{4} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \) bằng cách thử các giá trị \( x \) và \( y \) thỏa mãn \( x + y = 5 \): - Khi \( x = 2 \) và \( y = 3 \): \[ P = \frac{4(2) + 3}{2 \cdot 3} + \frac{2(2) - 3}{4} \] \[ P = \frac{8 + 3}{6} + \frac{4 - 3}{4} \] \[ P = \frac{11}{6} + \frac{1}{4} \] \[ P = \frac{22}{12} + \frac{3}{12} \] \[ P = \frac{25}{12} \] - Khi \( x = 3 \) và \( y = 2 \): \[ P = \frac{4(3) + 2}{3 \cdot 2} + \frac{2(3) - 2}{4} \] \[ P = \frac{12 + 2}{6} + \frac{6 - 2}{4} \] \[ P = \frac{14}{6} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{7}{3} + 1 \] \[ P = \frac{7}{3} + \frac{3}{3} \] \[ P = \frac{10}{3} \] - Khi \( x = 1 \) và \( y = 4 \): \[ P = \frac{4(1) + 4}{1 \cdot 4} + \frac{2(1) - 4}{4} \] \[ P = \frac{4 + 4}{4} + \frac{2 - 4}{4} \] \[ P = \frac{8}{4} + \frac{-2}{4} \] \[ P = 2 - \frac{1}{2} \] \[ P = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \] \[ P = \frac{3}{2} \] - Khi \( x = 4 \) và \( y = 1 \): \[ P = \frac{4(4) + 1}{4 \cdot 1} + \frac{2(4) - 1}{4} \] \[ P = \frac{16 + 1}{4} + \frac{8 - 1}{4} \] \[ P = \frac{17}{4} + \frac{7}{4} \] \[ P = \frac{24}{4} \] \[ P = 6 \] 5. So sánh các giá trị \( P \) đã tính: - \( P = \frac{25}{12} \approx 2.083 \) - \( P = \frac{10}{3} \approx 3.333 \) - \( P = \frac{3}{2} = 1.5 \) - \( P = 6 \) Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( \frac{3}{2} \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{3}{2} \). Đáp án đúng là: \( B.~Min~P=\frac{3}{2} \). Câu 34: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về góc nội tiếp và cung tròn. 1. Xác định các điểm tiếp xúc: - Đường tròn $(O_1; R)$ tiếp xúc với đường tròn $(O_2; 2R)$ tại điểm B. - Đường tròn $(O_2; 2R)$ tiếp xúc với đường tròn $(O_3; 3R)$ tại điểm C. - Đường tròn $(O_3; 3R)$ tiếp xúc với đường tròn $(O_1; R)$ tại điểm A. 2. Tính góc giữa các bán kính: - Vì ba đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, nên tam giác $O_1O_2O_3$ là tam giác đều (vì các cạnh của nó là tổng bán kính của các đường tròn tiếp xúc). - Do đó, mỗi góc của tam giác đều này là $60^\circ$. 3. Xác định cung AC trên đường tròn $(O_1; R)$: - Điểm A và C nằm trên đường tròn $(O_1; R)$ và thuộc các đường tròn khác. - Góc nội tiếp $\angle O_1AC$ nhìn thấy cung AC và bằng $\frac{1}{2}$ góc tâm tương ứng. 4. Tính độ dài cung AC: - Góc tâm nhìn thấy cung AC là $60^\circ$ (góc nội tiếp $\angle O_1AC$ nhìn thấy cung AC và bằng $\frac{1}{2}$ góc tâm). - Độ dài cung AC được tính bằng công thức: \[ \text{Độ dài cung} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] Trong đó $\theta = 60^\circ$ và $R$ là bán kính của đường tròn $(O_1; R)$. \[ \text{Độ dài cung AC} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{1}{6} \times 2\pi R = \frac{\pi R}{3} \] Vậy độ dài cung nhỏ AC của đường tròn $(O_1; R)$ là $\frac{\pi R}{3}$. Đáp án đúng là: $C.~\frac{\pi R}{3}$. Câu 35: Để phương trình $\frac{mx-2}{x-1}=5$ có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng phương trình này có nghiệm và nghiệm đó không làm mẫu số bằng 0. Điều kiện xác định: $x \neq 1$. Phương trình đã cho: \[ \frac{mx-2}{x-1} = 5 \] Nhân cả hai vế với $(x-1)$ để khử mẫu số: \[ mx - 2 = 5(x - 1) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ mx - 2 = 5x - 5 \] \[ mx - 5x = -5 + 2 \] \[ (m - 5)x = -3 \] Phương trình này có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu hệ số của $x$ không bằng 0, tức là: \[ m - 5 \neq 0 \] \[ m \neq 5 \] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi $m \neq 5$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~m \neq 5 \] Câu 36: Diện tích của một mặt cầu được tính theo công thức: \( S = 4\pi r^2 \), trong đó \( r \) là bán kính của mặt cầu. Theo đề bài, diện tích của mặt cầu là \( 16\pi~cm^2 \). Ta có: \[ 4\pi r^2 = 16\pi \] Chia cả hai vế cho \( 4\pi \): \[ r^2 = 4 \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ r = 2 \] Vậy bán kính của mặt cầu là 2 cm. Đáp án đúng là: A. 2 cm. Câu 37: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tỉ lệ để tìm chiều cao của tòa nhà và sau đó tính số tầng của tòa nhà. Bước 1: Xác định tỉ lệ giữa chiều cao của cột đèn và chiều dài bóng của nó: Chiều cao của cột đèn: 7m Chiều dài bóng của cột đèn: 4m Tỉ lệ giữa chiều cao của cột đèn và chiều dài bóng của nó là: \[ \frac{7}{4} \] Bước 2: Áp dụng tỉ lệ này để tìm chiều cao của tòa nhà: Chiều dài bóng của tòa nhà: 80m Chiều cao của tòa nhà là: \[ 80 \times \frac{7}{4} = 80 \times 1,75 = 140 \text{m} \] Bước 3: Tính số tầng của tòa nhà: Mỗi tầng cao 2,5m. Số tầng của tòa nhà là: \[ \frac{140}{2,5} = 56 \text{ tầng} \] Vậy tòa nhà có 56 tầng. Đáp án đúng là: C. 56 tầng. Câu 38: Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh chiều dài của nó, ta sẽ tạo thành một hình trụ. Chiều dài của hình chữ nhật sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, còn chiều rộng của hình chữ nhật sẽ trở thành bán kính đáy của hình trụ. Chiều dài của hình chữ nhật là 3 cm, do đó chiều cao của hình trụ cũng là 3 cm. Chiều rộng của hình chữ nhật là 2 cm, do đó bán kính đáy của hình trụ là 2 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức: \[ S_{xq} = 2 \pi r h \] Trong đó: - \( r \) là bán kính đáy của hình trụ, - \( h \) là chiều cao của hình trụ. Thay các giá trị vào công thức: \[ S_{xq} = 2 \pi \times 2 \times 3 = 12 \pi \text{ (cm}^2\text{)} \] Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là \( 12 \pi \text{ cm}^2 \). Đáp án đúng là: \( A.~12\pi(cm^2) \). Câu 39: Để tìm giá trị của biểu thức \( x - y \), ta cần giải hệ phương trình đã cho: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 6 \\ 2x + y = 3 \end{array} \right. \] Ta sẽ cộng hai phương trình lại để loại bỏ \( y \): \[ (x - y) + (2x + y) = 6 + 3 \] \[ x - y + 2x + y = 9 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Bây giờ, ta thay \( x = 3 \) vào phương trình đầu tiên để tìm \( y \): \[ 3 - y = 6 \] \[ -y = 6 - 3 \] \[ -y = 3 \] \[ y = -3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = (3; -3) \). Giá trị của biểu thức \( x - y \) là: \[ x - y = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6 \] Do đó, giá trị của biểu thức \( x - y \) là 6. Đáp án đúng là: D. 6. Câu 40: Phương trình $ax^4 + bx^2 + c = 0$ (với $a \neq 0$) có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Ta sẽ xét từng trường hợp để tìm đáp án đúng. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng bậc bốn nhưng có thể được viết lại dưới dạng bậc hai thông qua biến đổi $y = x^2$. Khi đó phương trình trở thành: \[ ay^2 + by + c = 0 \] Giả sử phương trình này có hai nghiệm $y_1$ và $y_2$, tức là: \[ y_1 = x_1^2 \quad \text{và} \quad y_2 = x_2^2 \] Theo công thức Viète cho phương trình bậc hai, ta có: \[ y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} \] \[ y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} \] Do đó: \[ x_1^2 + x_2^2 = -\frac{b}{a} \] Tuy nhiên, ta cần lưu ý rằng phương trình ban đầu có thể có nghiệm kép hoặc phức tạp hơn, do đó không thể đơn giản hóa như trên. Để tìm tổng của các nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần xem xét các lựa chọn đã cho: A. $x_1, x_2 = \frac{c}{a}$: Đây là sai lầm vì nó không liên quan đến tổng của các nghiệm. B. $x_1 + x_2 = 0$: Đây là khả năng đúng nếu các nghiệm là số thực và đối xứng qua gốc tọa độ. C. $x_1 + x_2 = \frac{-b}{2a}$: Đây là sai lầm vì nó áp dụng cho phương trình bậc hai, không phải bậc bốn. D. $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$: Đây là sai lầm vì nó không đúng theo công thức Viète cho phương trình bậc bốn. Vì vậy, đáp án đúng là: \[ B.~x_1 + x_2 = 0 \] Đáp số: B. $x_1 + x_2 = 0$ Câu 41: Để giải phương trình $\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}-\sqrt{49x^2+147}=2$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Các biểu thức dưới dấu căn đều phải lớn hơn hoặc bằng 0. - Điều kiện xác định: $9x^2 + 27 \geq 0$, $25x^2 + 75 \geq 0$, $49x^2 + 147 \geq 0$. - Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của $x$. Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với $\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147}$ để loại bỏ căn thức: \[ (\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}-\sqrt{49x^2+147})(\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147}) = 2(\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147}) \] Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: \[ (9x^2 + 27) + (25x^2 + 75) - (49x^2 + 147) = 2(\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147}) \] \[ 9x^2 + 27 + 25x^2 + 75 - 49x^2 - 147 = 2(\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147}) \] \[ -15x^2 - 45 = 2(\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147}) \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 2: \[ -\frac{15x^2 + 45}{2} = \sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}+\sqrt{49x^2+147} \] Bước 5: Ta thấy rằng vế trái là một biểu thức âm, trong khi vế phải là tổng của các căn bậc hai (luôn dương hoặc bằng 0). Do đó, phương trình này không có nghiệm thực. Kết luận: Phương trình $\sqrt{9x^2+27}+\sqrt{25x^2+75}-\sqrt{49x^2+147}=2$ không có nghiệm thực. Đáp án: Không có nghiệm.