Hãy tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số $$, trong đó $$ và $$ là các số thực.

Bài toán này thuộc loại bài toán tìm điểm cực trị của hàm số hai biến. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm riêng. 1. Bước đầu tiên là tính đạo hàm riêng theo $$ và $$ của hàm số $$: $$ $$ 2. Tiếp theo, ta giải hệ phương trình sau để tìm các điểm dừng (stationary points): $$ $$ 3. Cuối cùng, ta sẽ sử dụng ma trận Hessian để xác định xem mỗi điểm dừng là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm yên ngựa. Bây giờ, chúng ta hãy thực hiện từng bước: 1. Tính đạo hàm riêng: $$ $$ 2. Giải hệ phương trình: $$ $$ Ta có: $$ và $$ Giải hệ phương trình trên, ta được 4 nghiệm: $$ Trong đó, chỉ có 3 điểm thỏa mãn $$ và $$ là số thực: $$ 3. Tính ma trận Hessian: $$ $$ Với mỗi điểm dừng, ta tính $$: - Đối với $$, $$, nên $$ là điểm yên ngựa. - Đối với $$, $$ và $$, nên $$ là điểm cực tiểu. - Đối với $$, $$ và $$, nên $$ là điểm cực đại. Vậy, hàm số $$ có 3 điểm cực trị là $$, trong đó $$ là điểm yên ngựa, $$ là điểm cực tiểu và $$ là điểm cực đại.