Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và tam giác SAC vuông tại S. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB

Question

phuongtamhanh · Accepted Answer

Ta có:
Tam giác SAC vuông tại S, O là trung điểm của AC
Suy ra SO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
Suy ra SO=OA=OC
ABCD là hình chữ nhật nên OA=OB=OC=OD
Suy ra SO=OB
Suy ra tam giác SOB cân tại O
M là trung điểm của SB
Đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao
$\displaystyle \Rightarrow OM\bot SB$

Timi · Answer

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: 
Bài toán này thuộc loại bài toán về hình học không gian, cụ thể là về hình chóp và các tính chất liên quan. Ý tưởng chính để giải bài toán này là sử dụng định lý Pythagoras trong không gian để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Các bước logic để giải bài toán:

Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong bài toán.

Bước 2: Sử dụng định lý Pythagoras trong không gian để tính toán và so sánh các khoảng cách.

Bước 3: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu tổng bình phương độ dài của chúng bằng bình phương độ dài của đường chéo.

2. Giải bài toán từng bước:

Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng

Ta có hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và $M$ là trung điểm của $SB$. Ta cần chứng minh rằng $OM \perp SB$.

Bước 2: Sử dụng định lý Pythagoras

Do $M$ là trung điểm của $SB$ nên $SM = MB = \frac{1}{2}SB$.

Gọi $SO=a$, $SA=b$, $SC=c$, $SB=d$ và $OM=x$. Ta có:

$SO^2 + OM^2 = SM^2$ (theo định lý Pythagoras)

Thay các giá trị đã biết vào, ta được:

$a^2 + x^2 = (\frac{1}{2}d)^2$

Bước 3: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Ta cần chứng minh rằng $OM \perp SB$ nếu và chỉ nếu $OM^2 + MB^2 = OB^2$.

Thay các giá trị đã biết vào, ta được:

$x^2 + (\frac{1}{2}d)^2 = OB^2$

So sánh hai phương trình ta thấy chúng giống nhau. Vậy, ta có thể kết luận rằng $OM \perp SB$.

Vậy, bài toán đã được giải xong.

호앙 · Answer

{"userId":5140644,"userName":"Khánh Nguyễn"}Để chứng minh rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB, ta sẽ sử dụng tính chất của hình học và định nghĩa về trung điểm.
Gọi E là giao điểm của đường thẳng OM và SB. Ta cần chứng minh rằng OE vuông góc với SB.
Vì M là trung điểm của SB, ta có SM = MB.
Vì O là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có OA = OC và OB = OD.
Vì SA = SC (do tam giác SAC vuông tại S), ta có SA = SC = SM + MA.
Vậy, ta có SM + MA = SC.
Từ đó, ta có SM + MA = SM + MB.
Do đó, ta có MA = MB.
Vì MA = MB và OA = OC, ta có tam giác OMA ≅ OMB (cạnh-cạnh-cạnh).
Từ đó, ta có ∠OMA = ∠OMB.
Vì ∠OMA = ∠OMB, ta có OM vuông góc với đường thẳng AB (do đường thẳng AB là đường phân giác của góc AOB).
Vì AB || CD (do ABCD là hình chữ nhật), ta có AB vuông góc với CD.
Vậy, ta có OM vuông góc với AB và OM vuông góc với CD.
Do đó, ta có OM vuông góc với đường thẳng SB (do SB là đường phân giác của góc ABC).
Vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB.

Disnney · Answer

{"userId":5140644,"userName":"Khánh Nguyễn"}

Gọi E là trung điểm của cạnh AD, Ta có:

Vì M là trung điểm của cạnh SB và E là trung điểm của cạnh AD, nên ME song song với AB và có độ dài bằng một nửa độ dài AB.

Vì đường thẳng OM đi qua trung điểm M của cạnh SB và trung điểm E của cạnh AD, nên OM song song với DE và có độ dài bằng một nửa độ dài DE.

Vì AB song song với DE (vì ABCD là hình chữ nhật), nên ME và OM cùng song song với AB và DE.

Do đó, OM vuông góc với đường thẳng SB.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB.