1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD.
Gọi (P) là mặt phẳng qua G, song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của (P) và (BCD)
b. Chứng minh thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) là hình bình hành.

Question

1.  Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD.
Gọi (P) là mặt phẳng qua G, song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của (P) và (BCD)
 b. Chứng minh thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) là hình bình hành.

lucylucy · Accepted Answer

a/ xét 2 mặt phẳng (P) và (BCD) có:
G là điểm chung
CD//(P)
$\displaystyle \Longrightarrow ( P) \cap ( BCD) =NP$ sao cho $\displaystyle \begin{cases}
NP//CD,\ N\in BD,\ P\in BC\
G\in NO
\end{cases}$
b/ Gọi H là trung điểm CD
trong mặt phẳng (ABH): kẻ GI//AB
⟹$\displaystyle GI\subset ( P)$
trong (ACD) kẻ MQ đi qua I và MQ//CD
mà $\displaystyle I\in ( P) ,\ ( P) //CD$
$\displaystyle \Longrightarrow MQ\subset ( P)$
⟹ thiết diện của (P) và (ABCD) là MNPQ
có: G là trọng tâm tam giác BCD
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{BG}{BH} =\frac{2}{3}$
ta dễ dàng chứng minh được $\displaystyle \frac{NP}{CD} =\frac{2}{3}$
tương tự ta cũng chứng minh được: $\displaystyle \frac{MQ}{CD} =\frac{2}{3}$
⟹NP=MQ
mà NP//MQ (cùng //CD)
⟹MNPQ là hình bình hành

Timi · Answer

1. Loại bài toán và ý tưởng chính:
   Bài toán này thuộc loại bài toán về hình học không gian, cụ thể là về tứ diện và mặt phẳng. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các định lý và tính chất của tứ diện, tam giác và mặt phẳng.

2. Các bước giải quyết bài toán:

a. Tìm giao tuyến của (P) và (BCD)

- Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) qua G, song song với AB và CD. Do G là trọng tâm của tam giác BCD nên G sẽ thuộc mặt phẳng (BCD).
- Bước 2: Vì (P) song song với AB và CD nên giao tuyến của (P) và (BCD) sẽ là đường thẳng d đi qua G và song song với AB, CD.

b. Chứng minh thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) là hình bình hành.

- Bước 1: Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A, B, D lên mặt phẳng (P). Ta có tứ giác HIKG.
- Bước 2: Do GH, GI, GK lần lượt vuông góc với AH, BI, DK nên GH = GI = GK.
- Bước 3: Do GH = GI và GH = GK nên GI = GK. Từ đó suy ra tứ giác HIKG là hình bình hành.

1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi (P) là mặt phẳng qua G, song song với AB và CD. a. Tìm giao tuyến của (P) và (BCD) b. Chứng minh thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) là...