Cho đường tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD. Một tiếp tuyến của (O) cắt AB, AD lần lượt tại E, F. Một tiếp tuyến khác của (O) cắt BC, CD lần lượt tại G, H.
Chứng minh: a) BE.DF=OB.OD
b) EG // HF

Question

Cho đường tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD. Một tiếp tuyến của (O) cắt AB, AD lần lượt tại E, F. Một tiếp tuyến khác của (O) cắt BC, CD lần lượt tại G, H. 
Chứng minh: a) BE.DF=OB.OD
                        b) EG // HF

manhnguyen · Accepted Answer

* Chứng minh O là giao điểm của AC và BD
Gọi O' là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA
O' là trung điểm AC và BD; AC vuông góc với BD tại O'
Gọi M,N,P,Q là chấn đường vuông góc kẻ từ O' tới AB,AD,CB,CD
Xét tam giác AO'B và tam giác AO'D có
O'A chung
AO'D=AO'B=90
O'B=O'D nên tam giác AO'B = tam giác AO'D nên O'M=O'N=O'P=O'Q
Suy ra O' cách đều 4 cạnh của hình thoi ABCD suy ra O' trùng O
Suy ra O là giao điểm của AC và BD
Suy ra O là trung điểm của BD
Suy ra OB=OD
Xét (O),có E là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O)
Kẻ OR vuông góc EF
OE là tia phân giác của MOR
EO là tia phân giác MER
EOR=$\displaystyle \frac{MOR}{2}$
FEO=BEO
cmtt có FOR=$\displaystyle \frac{NOR}{2}$
EFO=OFD
Tứ giác AMON có
BAD + OMA +ONA + MON=360
BAD + 90 +90 + MON=360
BAD + MON = 180
MON = 180 - BAD
Lại có EOR + FOR=$\displaystyle \frac{MOR+NOR}{2} =\frac{MON}{2}$
EOF=$\displaystyle \frac{180-BAD}{2}$
EOF=ABD=ADB=$\displaystyle D_{1}$=B$\displaystyle _{1}$
Xét tam giác ODF và tam giác EOF có
D$\displaystyle _{1}$=EOF
OFD = OFE
Suy ra tam giác ODF tương đương với tam giác EOF
Suy ra DOF = FEO
Mà FEO = BEO
Suy ra DOF = BEO
Xét tam giác ODF và tam giác EBO,có
D$\displaystyle _{1}$=B$\displaystyle _{1}$
DOF = BEO
Suy ra $\displaystyle \frac{OD}{BE} =\frac{DF}{OB}$
Suy ra BE.DF = OB.OD( điều phải cm)
cmtt ta có BG.DH = OB.OD
Suy ra BE.DF = BG.DH
$\displaystyle \frac{BE}{DH} =\frac{BG}{DF}$
ABCD là hình thoi nên ABC=ADC hay EBG = HDF
Suy ra tam giác EBG tương đương tam giác HDF suy ra BEG=DHF
Gọi I là giao điểm CD và EG
ABCD là hình thoi nên AB//CD nên BEG=EID
Suy ra HF//IE hay HF//EG(đpcm)

Timi · Answer

Loại bài toán này là bài toán về hình học không gian, đặc biệt là về đường tròn nội tiếp và tiếp tuyến của đường tròn. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về đường tròn nội tiếp, tính chất của tiếp tuyến và các định lý trong hình học phẳng.

1. Đầu tiên, chúng ta cần nhận biết rằng BE và DF là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên chúng sẽ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn.
2. Tiếp theo, chúng ta cần nhận biết rằng OB và OD là hai đường kính của đường tròn (O) nên chúng sẽ cắt nhau tại trung tâm của đường tròn.
3. Cuối cùng, chúng ta cần áp dụng định lý về tích của hai đoạn trên tiếp tuyến và đường kính để chứng minh BE.DF=OB.OD.
4. Đối với phần b), chúng ta cần áp dụng định lý về đường song song trong hình thoi để chứng minh EG // HF.

Bây giờ, hãy bắt đầu giải quyết bài toán:

a) Theo định lý về tích của hai đoạn trên tiếp tuyến và đường kính, ta có: $BE \cdot DF = OE \cdot OF$.
   Nhưng $OE = OF = r$ (vì OE, OF là bán kính của đường tròn (O)) nên $BE \cdot DF = r^2$.
   Mặt khác, OB và OD là hai đường kính của đường tròn (O) nên $OB \cdot OD = r^2$.
   Vậy $BE \cdot DF = OB \cdot OD$.

b) Để chứng minh EG // HF, chúng ta cần chứng minh góc EGF = góc HFD.
   Trong hình thoi ABCD, ta có $\angle BAD = \angle BCD$ (do các góc đối nhau trong hình thoi bằng nhau).
   Do đó, $\angle EGF = \angle BAD = \angle BCD = \angle HFD$.
   Vậy EG // HF.

visao22 · Answer

Đợi chút

Cho đường tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD. Một tiếp tuyến của (O) cắt AB, AD lần lượt tại E, F. Một tiếp tuyến khác của (O) cắt BC, CD lần lượt tại G, H. Chứng minh: a) BE.DF=OB.OD b) EG // HF