Cho đa thức bậc hai với các hệ số nguyên. Giả sử khi x nguyên,f(x)chia hết cho 3. Chứng minh rằng các hệ số của f(x)chia hết cho 3

Question

kimngan · Accepted Answer

xét đa thức bậc 2: P(x)=$\displaystyle ax^{2} +bx+c$
với: $\displaystyle a,b,c\in \mathbb{Z} \ $và a≠0
Ta có: $\displaystyle P( x) \vdots 3,\ \forall x\in \mathbb{Z}$ nên:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
P( 0) \vdots 3\Longrightarrow c\vdots 3\ ( 1)\
P( 1) \vdots 3\Longrightarrow a+b+c\vdots 3\
P( -1) \vdots 3\Longrightarrow a-b+c\vdots 3\
\Longrightarrow P( 1) +P( -1) =2a+2c\vdots 3\Longrightarrow a+c\vdots 3\ ( 2)\
P( 1) -P( -1) =2b\vdots 3\Longrightarrow b\vdots 3\ ( 3)
\end{array}$
từ (1) và (2) ⟹ $\displaystyle a\vdots 3\ ( 4)$
từ (1), (3) và (4) ⟹ các hệ số của P(x) chia hết cho 3

Timi · Answer

Bài toán này thuộc loại bài toán về đa thức và chia hết trong số học. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định lý về đa thức và tính chất của số chia hết.

Các bước logic để giải quyết vấn đề này như sau:

1. Đặt $f(x) = ax^2 + bx + c$ là đa thức bậc hai với các hệ số nguyên a, b, c.
2. Theo giả thiết, khi x là số nguyên thì $f(x)$ chia hết cho 3. Điều này có nghĩa là $f(x) = 3k$ với k là số nguyên.
3. Thay các giá trị nguyên của x vào đa thức, ta sẽ có một hệ phương trình với a, b, c là các ẩn số.
4. Giải hệ phương trình này, nếu các nghiệm a, b, c đều chia hết cho 3 thì ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

Bây giờ, hãy tiến hành giải bài toán theo các bước đã nêu:

1. Đặt $f(x) = ax^2 + bx + c$.
2. Khi x = 0, ta có $f(0) = c = 3k_0$ (với $k_0$ là số nguyên).
3. Khi x = 1, ta có $f(1) = a + b + c = 3k_1$ (với $k_1$ là số nguyên).
4. Khi x = -1, ta có $f(-1) = a - b + c = 3k_{-1}$ (với $k_{-1}$ là số nguyên).
5. Từ (3) và (4), ta suy ra $2a = 3(k_1 + k_{-1})$ nên a chia hết cho 3.
6. Tương tự, từ (3) và (4), ta suy ra $2c = 3(k_1 - k_{-1})$ nên c cũng chia hết cho 3.
7. Cuối cùng, từ (2) và (5), ta suy ra $b = 3(k_1 - k_0 - a)$ nên b cũng chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các hệ số của $f(x)$ đều chia hết cho 3.

zHyperSky syoct · Answer

{"userId":5116776,"userName":"khoa tấn"}

Giả sử đa thức bậc hai có dạng f(x) = ax^2 + bx + c, với a, b, c là các hệ số nguyên.

Giả sử khi x nguyên, f(x) chia hết cho 3. Điều này có nghĩa là f(x) ≡ 0 (mod 3) với mọi giá trị nguyên của x.

Ta có thể viết lại đa thức f(x) = ax^2 + bx + c dưới dạng f(x) ≡ 0 (mod 3) như sau:

ax^2 + bx + c ≡ 0 (mod 3)

Điều này có nghĩa là ax^2 + bx + c là một bội của 3.

Khi ta thay x = 0 vào đa thức f(x), ta được f(0) = c. Vì f(x) chia hết cho 3, nên c chia hết cho 3.

Khi ta thay x = 1 vào đa thức f(x), ta được f(1) = a + b + c. Vì f(x) chia hết cho 3, nên a + b + c chia hết cho 3.

Khi ta thay x = 2 vào đa thức f(x), ta được f(2) = 4a + 2b + c. Vì f(x) chia hết cho 3, nên 4a + 2b + c chia hết cho 3.

Từ các phương trình trên, ta thấy rằng c, a + b + c và 4a + 2b + c đều chia hết cho 3.

Vậy, các hệ số của đa thức f(x) (c, a, b) đều chia hết cho 3.