Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M xuống AB và AC. a) Chứng minh rằng: tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) Gọi I là điểm đối...

a) 
$$
⟹ AEMF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hình bình hành)
Có: $$
⟹ AEMF là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật)
b)
Ta có: I đối xứng với M qua F
MF=FI
Xét tam giác vuông ABC có
MB=MC (gt); 
MF//AE 
⟹ MF//AB 
⟹ AF=CF (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)
Ta có
MF=IF
AF=CF
⟹ AMCI là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)
Ta có: MF$$AC⟹MI$$
⟹ AMCI là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)
c) 
Ta có
AI//CM (cạnh đối hình thoi) ⟹ AI//BC ⟹ ABCI là hình thang
Xét tứ giác ABMI có:
AI//BC (cmt) ⟹ AI//BM
MF//AB (cmt) ⟹ MI//AB
⟹ ABMI là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hình bình hành)
Để ABCI là hình thang cân => AB=CI (1)
Ta có
AB=MI (cạnh đối hình bình hành ABMI) (2)
AM=CI (cạnh đối hình thoi AMCI) (3)
Từ (1) (2) (3) => AB=AM=MI=CI
Xét tam giác vuông ABC có:
BM=CM⟹ $$(trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
⟹ AB=AM=BM ⟹ tam giác ABM là tam giác đều ⟹ $$
⟹Để ABCI là hình thang cân thì tam giác vuông ABC có $$
d)
Tam giác ABM cân tại M có ME là đường cao ⟹ME là trung tuyến ⟹AE=BE
Xét tứ giác ADBM có
DE=ME (gt)
AE=BE 
⟹ ADBM là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)
⟹ AD//BM (cạnh đối hbh) ⟹ AD//BC
Ta có:
AI//CM (cạnh đối hình thoi AMCI)
⟹ A;D;I thẳng hàng (từ 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)
Ta có:
AD=BM (cạnh đối hình bình hành  ADBM)
AI=CM (cạnh đối hình thoi AMCI)
BM=CM (gt)
⟹ AD=AI ⟹ID=2AI