tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=x^2-3x+1 H=3x^2+3-5x K=4x^2+3x+2 N=(x-3)^2+(x-2)^2

$\displaystyle F=x^{2} -3x+1=x^{2} -2.\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2} -\frac{5}{4} =\left( x-\frac{3}{2}\right)^{2} -\frac{5}{4}$
Có: $\displaystyle \left( x-\frac{3}{2}\right)^{2} \geqslant 0\Rightarrow \left( x-\frac{3}{2}\right)^{2} -\frac{5}{4} \geqslant \frac{-5}{4}$ hay $\displaystyle F\geqslant \frac{-5}{4}$
Vậy giá trị nhỏ của $\displaystyle F=\frac{-5}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle \left( x-\frac{3}{2}\right)^{2} =0$ hay $\displaystyle x=\frac{3}{2}$

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
H=3x^{2} +3-5x=\left(\sqrt{3} x\right)^{2} -2.\sqrt{3} x.\frac{5\sqrt{3}}{6} +\left(\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)^{2} +\frac{11}{12}\\
\ \ \ =\left(\sqrt{3} x-\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)^{2} +\frac{11}{12}
\end{array}$
Có $\displaystyle \left(\sqrt{3} x-\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)^{2} \geqslant 0\Rightarrow \left(\sqrt{3} x-\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)^{2} +\frac{11}{12} \geqslant \frac{11}{12}$ hay $\displaystyle H\geqslant \frac{11}{12}$
Vậy giá trị nhỏ của $\displaystyle H=\frac{11}{12\ }$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle x=\frac{5}{6}$

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
K=4x^{2} +3x+2=( 2x)^{2} +2.2x.\frac{3}{4} +\left(\frac{3}{4}\right)^{2} +\frac{23}{16}\\
\ \ \ =\left( 2x+\frac{3}{4}\right)^{2} +\frac{23}{16}
\end{array}$
Có: $\displaystyle \left( 2x+\frac{3}{4}\right)^{2} \geqslant 0\Rightarrow \left( 2x+\frac{3}{4}\right)^{2} +\frac{23}{16} \geqslant \frac{23}{16}$ hay $\displaystyle K\geqslant \frac{23}{16}$
Vậy giá trị nhỏ của $\displaystyle K=\frac{23}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle x=-\frac{3}{8}$

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
N=( x-3)^{2} +( x-2)^{2}\\
\ \ \ =\left( x^{2} -6x+9\right) +\left( x^{2} -4x+4\right)\\
\ \ \ =2x^{2} -10x+13\\
\ \ \ =\left(\sqrt{2} x\right)^{2} -2.\sqrt{2} x.\frac{5\sqrt{2}}{2} +\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^{2} +\frac{1}{2}\\
\ \ \ =\left(\sqrt{2} x-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^{2} +\frac{1}{2}
\end{array}$
Có: $\displaystyle \left(\sqrt{2} x-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \geqslant 0\Rightarrow \left(\sqrt{2} x-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^{2} +\frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}$ hay $\displaystyle N\geqslant \frac{1}{2} \ $
Vậy giá trị nhỏ của $\displaystyle N=\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle x=\frac{5}{2}$