cHO a,b,c,d là các số nguyên thoả mãn: |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|=a^2022+2023 Tìm số dư của phép chia a^12 cho 16

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của giá trị tuyệt đối và phép chia lấy dư. Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng biểu thức |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a| là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu giữa các số liên tiếp. Điều này cho phép chúng ta suy ra một số tính chất quan trọng: 1. Tổng các giá trị tuyệt đối của các số liên tiếp từ a đến d là không đổi. Điều này có nghĩa là |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a| = |b-c|+|c-d|+|d-a|+|a-b| = |c-d|+|d-a|+|a-b|+|b-c| = |d-a|+|a-b|+|b-c|+|c-d|. 2. Tổng các giá trị tuyệt đối của các số liên tiếp từ a đến d cũng chính là tổng các giá trị tuyệt đối của các số liên tiếp từ b đến c. Điều này có nghĩa là |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a| = |b-c|+|c-d|+|d-a|+|a-b| = |b-c|+|c-d|+|d-a|+|a-b|. Với những tính chất này, chúng ta có thể rút gọn biểu thức ban đầu thành 2(a-b+c-d) = a^2022+2023. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm cách giải phương trình này. Ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 2 để thu được (a-b+c-d) = (a^2022+2023)/2. Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét phần dư của a^12 khi chia cho 16. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Euler và định lý Fermat nhỏ. Định lý Euler: Nếu a và n là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^phi(n) ≡ 1 (mod n), trong đó phi(n) là hàm phi Euler của n. Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Trong trường hợp này, chúng ta muốn tìm phần dư của a^12 khi chia cho 16. Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm phần dư của a^12 khi chia cho 4 và phần dư của a^12 khi chia cho 2. Đầu tiên, chúng ta xem xét phần dư của a^12 khi chia cho 4. Vì 16 = 4 * 4, nên chúng ta có thể áp dụng định lý Euler để thu được a^phi(4) ≡ a^2 ≡ 1 (mod 4). Do đó, a^12 ≡ (a^2)^6 ≡ 1^6 ≡ 1 (mod 4). Tiếp theo, chúng ta xem xét phần dư của a^12 khi chia cho 2. Nếu a là số chẵn, thì a^12 cũng là số chẵn và phần dư khi chia cho 2 sẽ là 0. Nếu a là số lẻ, thì a^12 cũng là số lẻ và phần dư khi chia cho 2 sẽ là 1. Vậy, chúng ta đã tìm được phần dư của a^12 khi chia cho 16. Nếu a là số chẵn, phần dư sẽ là 0. Nếu a là số lẻ, phần dư sẽ là 1. Trong bài toán này, chúng ta đã tìm được phương trình (a-b+c-d) = (a^2022+2023)/2 và phần dư của a^12 khi chia cho 16 là 0.